уравнение

[kda_ximik]

есть уравнение:
$2\cos^2x+2\sqrt{2}cosxcos^2{4x}+cos^2{4x}=0$
требуется отобрать корни из $[-2\pi;\pi]$
после упрощения получил:
$(\sqrt{2}cosx+\cos^2{4x})^2+\frac{1}{4}\sin^2{4x}=0$
Оба слогаемых неотрицательны, и их сумма равна 0 тогда, когда каждый из них равен $0$.
Получаем два уравнения:
$\sqrt{2}cosx+\cos^2{4x}=0$ и $\sin8x=0$
получим две серии корней (от обоих уравнений).
От первого уравнения в соответствии с условием $[-2\pi;\pi]$ есть три корня, а также несколько корней от второго уравнения.
Так вот. В ответе приведены только три первых корня (от первой серии). Почему в ответе отсутствуют корни из серии $\frac{k\pi}{8}$?
Спасибо!

[provincialka]

Потому что это система уравнений. Они оба должны выполняться.
Ваше предположение было бы верно для уравнения типа $(\sqrt{2}\cos x+\cos^2{4x})^2\cdot\frac{1}{4}\sin^2{4x}=0$

[kda_ximik]

так ведь сумма двух квадратов равна $0$ при равенстве нулю обоих слагаемых. Если первое равно $0$, "синус" не может быть равным, например, $\frac{2}{94}$. Тогда нарушется основное исходное равенство. Чот не допонимаю

[provincialka]

Я не решала уравнение и не знаю, есть ли у него корни. Вы спросили, почему не приведены корни второго уравнения - на это я и ответила.

[kda_ximik]

$\frac{2}{94}$-абстрактное число, неравное нулю. Оно не имеет отношению к решению

[ИСН]

Иногда в разговоре слова выходят из зацепления и прокручиваются вхолостую. Вместо диалога получается два монолога.
kda_ximik, подставьте непосредственно в исходное уравнение какой-нибудь из тех корней, про которые Вы спрашиваете, почему они не приведены. Что выйдет?

[kda_ximik]

Если в ответах нет этой серии корней, то она не удовлетворяет исходному условию. Это все глядя на ответы в книжке!

Но решая это уравнение, я принимаю, что $\sin{8x}=0$, и от этого отталкиваюсь и решаю дальше, рассматривая первое слогаемое как равное нулю.

[ИСН]

Я Ваших слов не понял. Да или нет? Это "да, корень" или "нет, не корень"?

[kda_ximik]

Взял один корень из "сомнительной" серии - не подошел.

[ИСН]

Ну вот, значит, это не корень. Что ещё Вы хотели бы узнать о причинах этого факта?

[kda_ximik]

Хорошо. Тогда поставим задачу так:
Пусть у нас в ходе решения некоторого уравнения в результате равносильных преобразований получилось выражение:
$f^2{(x)}+g^2{(x)}=0$
Такое может быть только при $f(x)=0$ и $g(x)=0$.
Оба решаем и получаем две серии корней.

[Heart-Shaped Glasses]

По-моему, вы путаете с произведением (там действительно есть похожее условие). А тут ведь сумма, да ещё квадратов...

[mihailm]

kda_ximik в сообщении #828733 писал(а):

...Оба решаем и получаем две серии корней.

И...?

[kda_ximik]

Все! Понял!
Две серии корней должны пересекаться.
Получилось так, что у уравнения $\sin{8x}=0$ есть совокупность корней, в которой лишь некоторые удовлетворяют $\sqrt{2}\cos{x}+\cos^2{4x}=0$
Так?

[mihailm]

kda_ximik в сообщении #828739 писал(а):

Все! Понял!
Две серии корней должны пересекаться.
Получилось так, что у уравнения $\sin{8x}=0$ есть совокупность корней, в которой лишь некоторые удовлетворяют $\sqrt{2}\cos{x}+\cos^2{4x}=0$
Так?

Сойдет,
только они не "должны пересекаться", а просто их надо пересечь и получить то, что получится