2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Объяснение парадокса Клейна
Сообщение17.02.2014, 09:00 


25/06/12

389
В данном сообщении делается попытка объяснения парадокса Клейна, т.е.странного поведения волновой функции (ВФ) релятивистской частицы, описываемой волновым уравнением Клейна-Гордона (УКГ) и уравнением Дирака, при больших значениях заграждающего электрического потенциала.
Цитата:
Википедия:
"Парадокс Клейна возникает при рассмотрении задачи о туннелировании релятивистской частицы через высокий потенциальный барьер. При решении уравнения Дирака вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер, высота которого больше, чем удвоенная энергия покоя частицы, стремится к единице, независимо от высоты барьера.
Общепринятое объяснение парадокса лежит в плоскости квантовой теории поля. Так, уравнение Дирака описывает не движение отдельной частицы, а эволюцию во времени квантового поля, в котором будут присутствовать и античастицы. Поэтому при наличии сильных полей будет происходить рождение пар и вновь родившиеся частицы могут возникать и за барьером".

Пример проявления парадокса Клейна приводится в англоязычной Википедии (статья "Klein paradox"), где показывается, что дираковский электрон с умеренной кинетической энергией с вероятностью 1 может проходить через очень высокий заграждающий барьер.

Проявление парадокса Клейна уже отмечалось в темах автора "Решение уравнения Клейна-Гордона для потенциального ящика" и "Квантовые осцилляторы Клейна-Гордона и Дирака". В первой теме в сообщении post741877.html#p741877приводился пример решения УКГ с полноым прохождением электронной волны через высокий потенциальный барьер $U\approx 2m+ p^2/(2m).$ Во второй теме показывалось, что в линейном квантовом осцилляторе с увеличением координаты и вместе с ней и запирающего потенциала, после значительного экспоненциального спада волновой функции наблюдается ее колебательный участок с нарастающей пространственной частотой. Отмечалось, что такой характер изменения ВФ характерен как для решения УКГ, так и для решения уравнения Дирака (см. авторскую статью http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog ... 13022.html, рис. 2).

Для понимания сущности явления вспомним выражения для вектора плотности тока-заряда и истоков тензора энергии-импульса частицы, ВФ которой отвечает УКГ: $$J^i= \frac {ie}{2m}(\frac {\partial \psi^*}{\partial x^i} \psi - \psi^* \frac {\partial \psi} {\partial x^i}+2ieA^i \psi^*\psi), \,\,\,(1)$$ $$\frac {\partial T^{ik}}{\partial x^k} = F^{ik} J^k.\,\,\,(2)$$ Из выражения (2) следует формула для изменения вектора плотности импульса частицы в одномерном случае (пространственная координата $x$) $$\frac {\partial T^{i0}}{\partial x^0} = \frac {dp^x}{dt} = E^x \rho=E^x J^0.$$
Получаем на первый взгляд известную формулу. Однако следует учесть, что в нашем случае плотность тока зависит как от плотности вероятности частицы, так и от электрического потенциала $A^0$, т.е. от ее потенциальной энергии. В случае стационарного поля формула (1) имеет вид $$J^0= -\frac em(\varepsilon - eA^0) \psi^*\psi, \,\,\,(1a)$$ т.е. плотность заряда пропорциональна разности полной энергии и потенциальной энергии частицы. С ростом заграждающего потенциала плотность заряда частицы уменьшается и при $\varepsilon < eA^0$ изменяет знак на противоположный. Т.е. электронное поле в области высокого отрицательного потенциала обладает положительным зарядом, и ускоряется с ростом заграждающего потенциала, что проявляется в квантовом осцилляторе в форме появления пульсации ВФ с возрастающей пространственной частотой.

В случае уравнения Дирака известна формула для плотности заряда c постоянным его знаком $J^0= ie \bar{\psi}\gamma^0\psi$, и казалось бы вышеприведенное объяснение парадокса Клейна здесь не применимо. Однако вспомним, что в случае дираковского электрона плотность заряда-тока представляет сумму двух составляющих - переноса зарядов и спиновую, связанную с пространственной неоднородностью модуля ВФ. Соответствующая формула, уже приводимая автором в другой теме (сообщение post820405.html#p820405), имеет вид $$J^i=ie\bar{\psi}\gamma^i \psi= \frac {ie}{2m}(\frac {\partial \bar{\psi}}{\partial x_i} \psi - \bar{\psi} \frac {\partial \psi} {\partial x_i}+2ieA^i \bar{\psi}\psi)+\frac {e} {2m} \frac {\partial (\bar{\psi} \sigma^{ki} \psi)} {\partial x^k} = J^i_{\text{зар}} +J^i_{\text{спин}}.\,\,\, (3)$$ В том же сообщении приводилась формула для истоков тензора энергии-импульса, отвечающая уточненному автором лагранжиану уравнения Дирака $$\frac {\partial T^{ik}}{\partial x^k} = F^{ik} J^k_\text{зар} + \frac 1 2 \frac {\partial F^{kl}} {\partial x^i} \mu^{kl},\,\,\,(4)$$ где $\mu^{il} = -\frac {e} {2m} \bar{\psi} \sigma^{il}\psi$ - тензор спинового магнитоэлектрического момента электрона.
Отмечалось, что первый член в последнем выражении характеризует изменение энергии-импульса электрона при взаимодействии его заряда с электромагнитным полем, а второй член описывает взаимодействие спинового момента электрона с неоднородным магнитным полем, наблюдаемое в опыте Штерна-Герлаха.
При отсутствии магнитного поля основной вклад в движение электрона вносит первый член в выражении (4), вид которого соответствует виду вектора истоков энергии-импульса (2) для УКГ. Этот член также включает две составляющих плотности заряда, отвечающих энергии-импульсу электрона и его потенциальной энергии, как это имело место в выражении (1) для случая УКГ. При этом последняя составляющая основной части вектора заряда при запирающем электрическом потенциале также ослабляет и может изменять знак плотности заряда электронного поля. Ввиду вышеуказанного значительное возрастание запирающего потенциала дираковского электрона, как и в случае частицы, описываемой УКГ, приводит к обратному знаку изменения импульса электрона при постоянном знаке напряженности электрического поля.

Считается, что парадокс Клейна связан с рождением позитронов, компенсирующих электронную составляющую ВФ. Автор же, предполагая, что ВФ электрона отражает реальное вакуумное поле, считает такое положение малоубедительным. Видимо электронная волновая функция при распространении в область высокого заграждающего потенциала приобретает свойство носителя положительного заряда, определяющего аномальное взаимодействие электронного поля с электрическим. Нормированная ВФ стационарного электрона представляет единую частицу с отрицательным зарядом, и позитрон не может быть обнаружен в области положительных значений плотности заряда, поскольку это нарушало бы закон сохранения заряда.

С уважением О.Львов

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение парадокса Клейна
Сообщение18.02.2014, 16:29 


03/05/12

449
Перед прохождением барьера возникает высокий пик потенциальной энергии электрона (и кинетической энергии тоже)

Изображение

Но опять же нужно сначала привести в порядок уравнение Клейна-Гордона. Только после этого посмотреть каким станет проявление парадокса Клейна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение парадокса Клейна
Сообщение19.02.2014, 15:17 


25/06/12

389
Воспользовавшись необходимостью отреагировать на реплики оппонента, сделаю дополнительное замечание касательно отсутствия поля позитронной составляющей в рассмотренной волновой функции в области высокого запирающего потенциала. Дело в том, что в стационарном состоянии позитронная волновая функция имеет другой знак частоты осцилляции, чем рассмотренная электронная волновая функция.

Helium в сообщении #828109 писал(а):
Перед прохождением барьера возникает высокий пик потенциальной энергии электрона (и кинетической энергии тоже)

Насколько я понимаю потенциальная энергия электрона увеличивается в зоне заграждающего барьера, но не перед ним.

Helium в сообщении #828109 писал(а):
Но опять же нужно сначала привести в порядок уравнение Клейна-Гордона. Только после этого посмотреть каким станет проявление парадокса Клейна.

Вы видимо считаете, что вместо общеизвестного релятивистского уравнения Клейна-Гордона следует изучать ваше нерелятивистское уравнение сомнительной ценности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение парадокса Клейна
Сообщение19.02.2014, 17:18 


03/05/12

449
Lvov в сообщении #828503 писал(а):
Насколько я понимаю потенциальная энергия электрона увеличивается в зоне заграждающего барьера, но не перед ним.


График в увеличенном виде выглядит так:

Изображение

Т.е увеличивается перед барьером и спадает после. Но это еще до прохождения высота стенок $1.9m{c}^{2}$

Lvov в сообщении #828503 писал(а):
Вы видимо считаете, что вместо общеизвестного релятивистского уравнения Клейна-Гордона следует изучать ваше нерелятивистское уравнение сомнительной ценности?


Нет но и в таком виде уравнение Клейна-Гордона не подходит тоже это уже доказано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение парадокса Клейна
Сообщение20.02.2014, 09:10 


25/06/12

389
Helium в сообщении #828531 писал(а):
в таком виде уравнение Клейна-Гордона не подходит тоже это уже доказано.


Вы хотите сказать, что уравнение Клейна-Гордона частицы, взаимодействующей с электрическим полем, надо получать, используя новую формулу удлинения производной, наподобие приводимой ниже $$ \frac \partial {\partial x^0} \,\rightarrow \,\frac \partial {\partial x^0} - \frac {ie}{2m}\left(\frac {\partial \psi^*}{\partial x^0} \psi - \psi^* \frac {\partial \psi} {\partial x^0}+2ieA_0 \psi^*\psi  \right) A_0, $$ получая нелинейное уравнение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение парадокса Клейна
Сообщение20.02.2014, 19:38 


25/06/12

389
Helium в сообщении #828531 писал(а):
(Потенциальная энергия электрона. (замеч. Lv)) увеличивается перед барьером и спадает после. Но это еще до прохождения высота стенок $1.9m{c}^{2}$
...в таком виде уравнение Клейна-Гордона не подходит тоже это уже доказано.

Каким же образом вы рассчитываете энергию, г. Helium? Какое уравнение вы используете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение парадокса Клейна
Сообщение20.02.2014, 21:14 


03/05/12

449
Lvov в сообщении #828927 писал(а):
Каким же образом вы рассчитываете энергию, г. Helium? Какое уравнение вы используете?


Я использую уравнение Клейна-Гордона но поскольку это уравнение дает ошибочные результаты для водородоподобного ряда, то и нет уверенности что для потенциальной ямы результат будет верным. Особенно при энергиях порядка $2m{c}^{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение парадокса Клейна
Сообщение21.02.2014, 17:27 


25/06/12

389
Helium в сообщении #828961 писал(а):
Я использую уравнение Клейна-Гордона

Г.Helium, я наконец понял смысл Ваших графиков. Вы даете потенциальную энергию частицы, умноженную на вероятность ее обнаружения в соответствующем месте.
Что бы ваши расчеты и графики были ближе к теме, предлагаю сделать расчет для уровня энергетического барьера $U=2m+ p^2/(2m),$ где $p=0,01m.$ Ожидаемый коэффициент прохождения мнимо-экспоненциальной волновой функции за барьер здесь должен быть близок к 1, а модуль амплитуды волновой функции за барьером должен оставаться постоянным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение парадокса Клейна
Сообщение21.02.2014, 17:47 


03/05/12

449
Lvov в сообщении #829246 писал(а):
Г.Helium, я наконец понял смысл Ваших графиков. Вы даете потенциальную энергию частицы, умноженную на вероятность ее обнаружения в соответствующем месте.
Что бы ваши расчеты и графики были ближе к теме, предлагаю сделать расчет для уровня энергетического барьера $U=2m+ p^2/(2m),$ где $p=0,01m.$ Ожидаемый коэффициент прохождения мнимо-экспоненциальной волновой функции за барьер здесь должен быть близок к 1, а модуль амплитуды волновой функции за барьером должен оставаться постоянным.


Но решение уже я привел в сообщении
Helium в сообщении #759527 писал(а):
Я понял какой эффект Вы хотели наблюдать. Поскольку волновая функция немного просачивается через барьер практически любой высоты то хотите посмотреть что будет в случае высоты стенок ямы выше $E=2m{c}^{2}$.
Я сузил радиус ямы до 1 а.е. и при увеличении высоты ямы до значения $E=1.9m{c}^{2}$ ничего не происходит. Это видно на первом графике. А при увеличении высоты до $E=2m{c}^{2}$ происходит то что приведено на втором графике.


Коэффициент прохождения равняется 1 в момент достижения энергии $E=2m{c}^{2}$ так что далее поднимать энергию какой смысл?

-- 21.02.2014, 18:57 --

Lvov в сообщении #829246 писал(а):
Вы даете потенциальную энергию частицы, умноженную на вероятность ее обнаружения в соответствующем месте.


Да это среднее значение потенциальной энергии (в смысле без интегрирования). Если нужны промежуточные решения тоже могу привести. Чем ближе к энергии $E=2m{c}^{2}$ тем сильнее просачивается волновая функция. Как бы частица делает безуспешные попытки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение парадокса Клейна
Сообщение21.02.2014, 18:14 


25/06/12

389
Helium в сообщении #829253 писал(а):
Чем ближе к энергии $E=2m{c}^{2}$ тем сильнее просачивается волновая функция. Как бы частица делает безуспешные попытки.

Я лишь утверждаю, что при указанной мною высоте энергетического барьера $U=2m+ p^2/(2m),$ коэффициент прохождения волновой функции через барьер близок к 1. Однако при $U=2m$ он будет меньше 1, и волновая функция за барьером будет спадать. У меня принято $c=1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение парадокса Клейна
Сообщение21.02.2014, 18:40 


03/05/12

449
Lvov в сообщении #829263 писал(а):
Я лишь утверждаю, что при указанной мною высоте энергетического барьера $U=2m+ p^2/(2m),$ коэффициент прохождения волновой функции через барьер близок к 1.


Вы имеете ввиду $U=2m{c}^{2}+ p^2/(2m),$ ? То есть больше чем $2m{c}^{2}$ ? А что изменит такая небольшая добавка? Фактически это не барьер постоянной высоты?

-- 21.02.2014, 20:25 --

Helium в сообщении #829275 писал(а):
Я лишь утверждаю, что при указанной мною высоте энергетического барьера $U=2m+ p^2/(2m),$ коэффициент прохождения волновой функции через барьер близок к 1. Однако при $U=2m$ он будет меньше 1, и волновая функция за барьером будет спадать. У меня принято $c=1.$


При высоте барьера $1.9999m{c}^{2}$ еще полностью не проходит.

Изображение

Однако при высоте $2m{c}^{2}$ (даже чуть меньше этого значения а не больше) уже проходит полностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение парадокса Клейна
Сообщение22.02.2014, 09:41 


25/06/12

389
Helium в сообщении #829275 писал(а):
Однако при высоте $2m{c}^{2}$ (даже чуть меньше этого значения а не больше) уже проходит полностью.

Интересно, какой по вашим расчетам коэффициент прохождения волны в область барьера при $U=2m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение парадокса Клейна
Сообщение22.02.2014, 10:59 


03/05/12

449
Lvov в сообщении #829372 писал(а):
Интересно, какой по вашим расчетам коэффициент прохождения волны в область барьера при $U=2m$.


Как рассчитывать коэффициент? Сравнивать амплитуды не имеет смысла. Как видно волновая функция содержит всего один полупериод. Можно сравнивать интегралы от квадрата модуля до барьера и после. Так подходит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение парадокса Клейна
Сообщение22.02.2014, 18:00 


25/06/12

389
Helium в сообщении #829385 писал(а):
Lvov в сообщении #829372 писал(а):
Интересно, какой по вашим расчетам коэффициент прохождения волны в область барьера при $U=2m$.


Как рассчитывать коэффициент? Сравнивать амплитуды не имеет смысла. Как видно волновая функция содержит всего один полупериод. Можно сравнивать интегралы от квадрата модуля до барьера и после. Так подходит?

Постановка задачи такова: электронная волна УКГ с умеренным импульсом распространяется сева направо. В начале координат протяженный потенциальный барьер высотой $U=2m$. Часть волны проникает за барьер, часть отражается. Каковы амплитудные коэффициенты прохождения и отражения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Объяснение парадокса Клейна
Сообщение23.02.2014, 21:37 


03/05/12

449
Lvov в сообщении #829495 писал(а):
Постановка задачи такова: электронная волна УКГ с умеренным импульсом распространяется сева направо. В начале координат протяженный потенциальный барьер высотой $U=2m$. Часть волны проникает за барьер, часть отражается. Каковы амплитудные коэффициенты прохождения и отражения?


Не могу сказать насколько этот пример подходит но потом можно переделать.

Сферический потенциальный барьер внутренний радиус 10 а.е. внешний радиус 12 а.е. высота $2m{c}^{2}+0.01m{c}^{2}$ Электрон находится внутри в возбужденном состоянии $n=20$.

Изображение

Изображение

При высоте $2m{c}^{2}$ волновая функция не проходит через барьер.

Изображение

При высокой толщине барьера волновая функция заходит внутрь на определенную глубину и дальше останавливается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 44 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group