Здравствуйте! У меня есть книжка М.А. Евграфов "Аналитические функции". Там есть теорема, которую не совсем могу понять. Формулировка:
Цитата:
Пусть функция

регулярна в полосе

. Если функция

удовлетворяет условию

,

(

,

),
то функция

, (

)
не зависит от

и при любом

удовлетворяет неравенствам

,

При этом

(

), а если

, то

при

и

Тут

обозначено как двустороннее преобразование Лапласа, а

- одностороннее. Так вот никак не пойму (и из доказательства тоже, потому как оно несколько "сжато" и сложно отследить некоторые "очевидные" вещи), условие, налагаемое на F(z), достаточно для существования формулы обращения или нет?
Почему я сомневаюсь: для функции

по таблице из википедии образом будет функция

, которая на бесконечности убывает как

, т.е. не попадает под условие для

, но тем не менее прообраз имеет

. Есть ли тогда такое условие для

, что при выполнении которого у

есть прообраз и больше никогда?
И ещё вопрос про свёртку, определена как

. Там написано, что свёртке прообразов отвечает умножение образов, и что

Как тогда с помощью этого решить дифур (взял из головы):

(решение

)
Тогда если преобразуем преобразованием (ога, вот так!:) Лагранжа ур-е, получим:
![$z\eta(z) + \eta(z) = L[e^x]$ $z\eta(z) + \eta(z) = L[e^x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/d/2ed486e3e33f55e8a5b53f0a5403a43f82.png)
, L обозначил преобразование, которое не делаю явно.
Далее:
![$\eta(z) (z+1) = L[e^x]$ $\eta(z) (z+1) = L[e^x]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/6/e063ec8d683e7318d5a7cd3057af44b182.png)
![$\eta (z) = L[e^x] {{1}\over{z+1}}$ $\eta (z) = L[e^x] {{1}\over{z+1}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/b/f0ba702eb41d06bbf482103bf82b1fef82.png)
Произведению образов соответствует свертка прообразов. Прообраз

- экспонента.
И получаем по определению свёртки из книги что-то такое:

, что какая-то чушь. Так как этот дифур таким методом решить?
-- Вт фев 11, 2014 19:04:16 --Совершенно внезапно, если в последнем интеграле поставить пределы

до

, то...

Непонятно, какой магией я пришел к правильному результату