задача по теорверу про места в самолете (размещения)

[Germount]

Доброго времени суток. Попалась задачка, никак не могу придумать как её решать
В самолёте 100 мест, пронумерованные от 1 до 100. У 100 пассажиров билеты с номерами мест. Пассажиры входят соответственно свим номерам. Первый пассажир садится на случайное место. Все остальные садятся или на своё(если свободно) или на случайное из оставшихся свободных.
Какова вероятность что последний пассажир сядет на своё, сотое место.

Насколько я понимаю ответ будет один и тот же ( 1/2 ) вне зависимости от того сколько пассажиров/мест в задаче. А вот доказать не могу
Подкиньте идейку, пожалуйста
Спасибо.

[Brukvalub]

Начните тогда с трех мест и трех пассажиров.

[Germount]

начинал уже...но не индукцией же доказывать дальше...

[Brukvalub]

Germount писал(а):

но не индукцией же доказывать дальше...

А почему бы и нет...

[Germount]

Да почему-то показалось что так не пойдёт...Сейчас ещё раз подумал, придумал вот это
Итак, пусть утверждение верно для 1,2...,n мест.
Рассмотрим случай с n+1 мест.
Первый пассажир с вероятностью 1/n+1 садится на своё место, с такой же вероятностью на (n+1)е место и с вероятостью n-1/n+1-на какое либо другое. В первом случае, (n+1)ый точно сядет на своё, во втором случае точно не сядет, в третьем сядет с вероятностью 1/2. Итак
P= $\frac 1 {(n+1 )}$+ $\frac {n-1} {2(n+1)}$ = $\frac {n+1} {2(n+1)}$ = 1/2
Правильно?

[Brukvalub]

Germount писал(а):

в третьем сядет с вероятностью 1/2

Вот это место не совсем понятно

[Germount]

Третий случай подробнее
Итак остаётся n мест и n пассажиров, причём минимум 1 пассажир сядет не на своё место. Предположим он имеет номер k <= n . Тогда все до k садятся на свои места, остаётся n-k+1 мест и столько же пассажиров, причём 1й из оставшихся садится на любое свободное место, то есть соответственно предположению индукции, последний в таком случае садится на своё место с вероятностью 1/2.
Сорри, если немножко путанно, отвык по-русски писать

[Brukvalub]

Наоборот, теперь я убедился, что Вы прекрасно все поняли (даже я после Ваших объяснений начал понимать)!

[Germount]

Спасибо за помощь...идею с индукцией я почему-то сразу отбросил