Не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега

[djuuj]

Я вот тоже задаюсь этим вопросом, только скорее по определениям. Никак не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега. Формально там всё корректно. Но никакого интуитивного понимания почему они определяются именно так, а не иначе, нет. То есть почему эти определения естественны, вообще не представляю. Хотя с интегралом Римана для меня всё чётко, определение основано на способе вычисления. Вот уже за схему Даниеля взялся :/

[Ales]

djuuj в сообщении #825374 писал(а):

Хотя с интегралом Римана для меня всё чётко, определение основано на способе вычисления.

Интеграл Римана вычисляется так: для каждого кусочка ищем значение функции, умножаем значение на меру (длину, площадь, объем) кусочка и суммируем по всем кусочкам.

Интеграл Лебега так вычисляется: для каждого значения ищем меру множества кусочков, на котором эта функция принимает это значение, умножаем меру на значение и суммируем по всем значениям.

В силу дистрибутивности, коммутативности и ассоциативности арифметических операций эти два способа дают один и тот же результат: интеграл Римана = интеграл Лебега.

Естественная область применения интеграла Лебега - теория вероятности, в которой роль меры играет вероятность.
Например, средне-вероятное значение случайной величины (математическое ожидание) - это интеграл Лебега этой величины по вероятностному пространству.

В других случаях естественно применять интеграл Римана, поскольку найти меру прообраза функции - обычно трудная задача.

[Munin]

djuuj в сообщении #825374 писал(а):

Никак не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега. Формально там всё корректно. Но никакого интуитивного понимания почему они определяются именно так, а не иначе, нет.

Мера - это более строгое представление о том, что мы рассматриваем какую-то область интегрирования (линию, площадь или объём) как состоящую из точек, но имеющую "вес". Встаёт проблема: раз каждая точка бесконечно маленькая, то естественно думать, что она "веса не имеет". А все вместе сложенные, они уже "весомы". Значит, надо разобраться, в какой момент этот "вес" возникает: вот мы берём одну совокупность точек, другую, третью - и где-то происходит скачок.

Чтобы разобраться, мы можем поступить наоборот: назначить такой вес разным совокупностям точек, по своей воле. И оказывается, что мы можем сделать это, и с достаточно большой свободой. Тот способ, который мы интуитивно себе представляем, - всего лишь один из многих. И чтобы описать эти способы, мы вводим аксиомы меры. А потом рассматриваем, что получилось, и пробуем применять получившийся инструмент.

[g______d]

Ales в сообщении #825389 писал(а):

В силу дистрибутивности, коммутативности и ассоциативности арифметических операций эти два способа дают один и тот же результат: интеграл Римана = интеграл Лебега.

Если бы они действительно всегда давали один и тот же результат, то не было бы смысла вообще огород городить и рассказывать про оба. Они дают одинаковый результат в том случае, когда интеграл Римана существует. Интеграл Лебега применим к более широкому классу функций, но его конструкция сложнее, вот и все.

[Ales]

g______d в сообщении #825407 писал(а):

Они дают одинаковый результат в том случае, когда интеграл Римана существует.

Справедливо.

Но наверное, можно как-нибудь изменить понятие "мера" (ввести другое более ограниченное определение),
чтобы интеграл по Лебегу существовал только при условии существовании интеграла Римана.

Решение этого вопроса (мера, при которой оба интеграла существуют одновременно)
поможет разобраться в предмете.

[ewert]

djuuj в сообщении #825374 писал(а):

Никак не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега. Формально там всё корректно. Но никакого интуитивного понимания почему они определяются именно так, а не иначе, нет. То есть почему эти определения естественны, вообще не представляю.

А они и не естественны. Естественен -- именно интеграл по Риману. Бяда, однако, в том, что он не даёт замкнутой теории -- функциональные пространства оказываются неполными. А вот если подойти к этому с другой стороны (со стороны Лебега), разбивая всё не по горизонтали, а по вертикали, -- то, о чудо, всё оказывается тип-топ.

[djuuj]

Ales в сообщении #825389 писал(а):

Естественная область применения интеграла Лебега - теория вероятности

Собственно, тервером и обусловлен интерес к этим разделам. Но как раз это я не могу понять, почему мат. ожидание это интеграл Лебега. Почему именно Лебега? Просто не было другого и впилили Лебега? Или всё же есть в этом глубинный смысл?

Ales в сообщении #825389 писал(а):

В других случаях естественно применять интеграл Римана, поскольку найти меру прообраза функции - обычно трудная задача.

Вообще насколько я знаю интеграл Лебега некогда почти полностью вытеснил Римана в теоретических исследованиях. Вполне понятно почему, Лебега более общий и свойства у него хорошие. Но вот саму конструкцию никак не могу принять, почему такое определение интеграла естественно. Ну да, потом оказывается, что более широкий класс функций охватывает. Но если сравнивать определения, то как-то это не видно.

Munin в сообщении #825402 писал(а):

И чтобы описать эти способы, мы вводим аксиомы меры.

К определению меры вообще вопросов не имею. Трудности с пониманием меры Лебега (Лебегово продолжение). Например, почему нам так важна счётная аддитивность меры? Почему недостаточно просто аддитивности?

[ewert]

djuuj в сообщении #825421 писал(а):

Но как раз это я не могу понять, почему мат. ожидание это интеграл Лебега. Почему именно Лебега?

А он вовсе не обязательно Лебега. Для непрерывных запросто и Римана (ну или почти Римана) сойдёт. Хотя гораздо общЕе -- Стилтьеса; ну а Лебег все эти дела и обобщает. Тем и ценен (применительно узко к ТВ).

[Ales]

djuuj в сообщении #825421 писал(а):

Но как раз это я не могу понять, почему мат. ожидание это интеграл Лебега. Почему именно Лебега?

По способу вычисления:
известны вероятности того или иного значения случайной величины, умножаем вероятности на значения, складываем - это интеграл Лебега.

[Toucan]

Отделено от темы «Вопрос, связанный с методикой изучения математики»

[Oleg Zubelevich]

djuuj в сообщении #825374 писал(а):

Никак не могу постичь теорию меры и интеграл Лебега

я начал понимать после того как прочитал Gerald B. Folland :Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications:

-- Вт фев 11, 2014 23:47:10 --

есть в сети в djvu

-- Вт фев 11, 2014 23:50:24 --

вот еще другая прекрасная монография http://www.math.ucsd.edu/~bdriver/231-0 ... alpde1.pdf

[djuuj]

ewert в сообщении #825422 писал(а):

А он вовсе не обязательно Лебега. Для непрерывных запросто и Римана (ну или почти Римана) сойдёт. Хотя гораздо общЕе -- Стилтьеса; ну а Лебег все эти дела и обобщает. Тем и ценен (применительно узко к ТВ).

Так Римана и Стилтьеса они же одновременно и Лебега? По вероятностной мере.

Ales в сообщении #825425 писал(а):

известны вероятности того или иного значения случайной величины, умножаем вероятности на значения, складываем - это интеграл Лебега.

Ну ок, что-то в этом есть, спасибо.

Oleg Zubelevich в сообщении #825428 писал(а):

я начал понимать после того как прочитал Gerald B. Folland :Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications:

-- Вт фев 11, 2014 23:47:10 --

есть в сети в djvu

-- Вт фев 11, 2014 23:50:24 --

вот еще другая прекрасная монография http://www.math.ucsd.edu/~bdriver/231-0 ... alpde1.pdf

Спасибо, попробую.

[ex-math]

То, что разбиение области значений функции характеризует конструкцию Лебега -- распространенное заблуждение. Просто так интеграл Лебега был введен исторически. Можно определить его аналогично риманову, разбивая область определения, а можно определить интеграл Римана, разбивая область значений. Разница между этими интегралами в используемой мере. Для интеграла Римана это мера Жордана, для лебегова -- более гибкая и универсальная мера Лебега.

[kp9r4d]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich, спасибо за учебники.

[g______d]

ex-math в сообщении #825637 писал(а):

Разница между этими интегралами в используемой мере. Для интеграла Римана это мера Жордана, для лебегова -- более гибкая и универсальная мера Лебега.

О, да, я от кого-то давно слышал про это заблуждение, и давно хотел спросить: бывает ли интеграл Лебега по мере Жордана? В смысле, есть ли общее понятие интеграла, не использующее счетную аддитивность, такое что при подстановке в него меры Лебега получится интеграл Лебега, а для меры Жордана — интеграл Римана?