Аппроксимация функции на сфере (диаграммы направленности)

[spacer]

Мне нужно решить следующую задачу. Имеется набор измерений в пространстве (плотность потока мощности антенны). Нужно найти аппроксимацию зависимости измеренной величины от двух углов (азимута и угла места).
Читал несколько пейперов, где упоминалось, что можно использовать ряд Котельникова, но полного изложения не смог найти. Решил аппроксимировать неизвестную функцию методом наименьших квадратов(МНК).
1) Так как неизвестная функция зависит от двух переменных (угол места и угол азимута), то не очень понятно как обобщить МНК на случай функции двух переменных.
2) Как оценить ошибку аппрокимации, т.е. сказать, что "ошибка аппроксимации не превышает стольки-то процентов"?

[_Ivana]

Пара банальностей навскидку:
1) в методе МНК мы выбираем общий вид аппроксимирующей функции (полином, экспонента и т.п.) с неизвестными параметрами, строим функцию ошибки (сумма квадратов отклонений аппроксимирующей функции от измеренных значений) и далее находим значения параметров, минимизирующие функцию ошибки. Поэтому, если вы в качестве аппроксимирующей функции выберете, например, плоскость, то метод вам честно даст такую плоскость, минимизирующую ошибку. Но ваша экспериментальная зависимость может быть при этом весьма далека от плоскости. Поэтому может имеет смысл ставить задачу не аппроксимации, а интерполяции ваших измерений?
2) мы значем значения измерений только в конечном количество точек. Соответственно, можем посчитать суммарную ошибку аппроксимации по всем точкам (как сказано выше), а также максимальную из всех точек, можем эти величины нормировать к измеренным значениям и получить проценты отклонений. Это будет как-то характериховать точность аппроксимации. Но мы ничего не знаем насчет значений искомой функции в других точках, поэтому не можем гарантировать, что наша оценка ошибки справедлива для всей аппроксимации.

[svv]

Методу наименьших квадратов совершенно всё равно, в каком пространстве находятся точки с известными значениями функции. Он об этом ничего не знает. Всё, что ему известно: значения базисных функций $f_k$ и измеренные значения $y_i$ в $i$-й точке. Как при этом расположены точки в пространстве, и какой оно размерности, и вообще пространство ли это, или набор изолированных точек, и даже есть ли эти точки на самом деле — неважно.

[spacer]

_Ivana, svv, спасибо за ответы.

[svv]

Предполагаю, что диаграмма направленности Вашей антенны хотя бы приблизительно осесимметрична.
Я бы ввел сферическую систему координат с осью $z$, направленной по этой оси симметрии. В качестве базисных функций можно взять сферические гармоники
$P_n^m(\cos\theta)\cos m\varphi$
$P_n^m(\cos\theta)\sin m\varphi$
(это без нормировочного коэффициента).