Уравнения Максвелла - учет тока смещения в проводнике

[powerZ]

Интересует данное уравнение Максвелла (закон полного тока):

$rot(H) = J + \varepsilon\frac {dE} {dt}$

Нужно ли учитывать ток смещения (второй член) в проводнике ? Если нет - то почему? Какова диэлектрическая проницаемость проводника, скажем меди?

P.S. Вопрос связан с расчетом скин-эффекта в круглом проводе. Без учета тока смещения я получил такое уравнение для поля.

$rot(rot(H))=-\frac\mu\rho\cdot j \omega \cdot H$

решение проверил сравнением с численным расчетом в Ansoft Maxwell SV - совпадает.

Теперь если учесть ток смещения, получим:

$rot(rot(H))=-\frac\mu\rho\cdot (j \omega-\varepsilon\rho\omega^2) \cdot H$

то есть появляется новый член, который зависит от частоты (будет расти с ростом частоты). Однако чему будет равен коэффициент $\varepsilon$ ?

[powerZ]

Если принять, что диэлектрическая проницаемость в металле примерно равна таковой в вакууме (так ли это на самом деле?) то эффект от второго члена будет пренебрежимо мал вплоть до частот порядка $1\cdot10^{18}$ Гц (а это на три порядка больше частоты видимого света)

[Developer]

Вот, если Вы в разрыв медного проводника установите конденсатор, тогда придётся учитывать и ток смещения, а в гальванической цепи этот ток отсутствует по природе металла...

[Хет Зиф]

powerZ
Вторым членом конечно лучше пренебречь.
уравнения будут $rot \vec H =\frac{4\pi}{c}\vec j$ и $rot \vec E = - \frac{1}{c}\dot B$

Добавлено спустя 6 минут 56 секунд:

Также понадобятся соотношения $\vec j = \lambda \vec E$ и
$\vec B=\mu \vec H$

Добавлено спустя 13 минут 10 секунд:

На самом деле переменное поле в проводнике сложная вещь.
И диэлектрическая проницаемость там, вещь довольно хитрая, это уже видно из того что у нее появляется мнимая часть. А в статике обычно мы полагаем что $e\to\infty$

[powerZ]

Цитата:

в гальванической цепи этот ток отсутствует по природе металла

Так в гальванической цепи отсутствует, или в металлах? А если это полупроводник? Уравнение Максвелла справедливо для любой среды должно быть, я так понимаю, только коэффициенты разные.

Кстати всё же - какое значение диэлектрической проницаемости (в смысле коэффициента в уравнении) для меди? Никто не ответит?

Добавлено спустя 9 минут 44 секунды:

Цитата:

А в статике обычно мы полагаем что $e\to\infty$

Извините? Что-что в статике?

[Zai]

Если вопрос о бесконечно длинном уединенном проводнике в вакууме, то какова его индуктивность на длине 1 м?

[powerZ]

Цитата:

Если вопрос о бесконечно длинном уединенном проводнике в вакууме, то какова его индуктивность на длине 1 м?

А бог его знает. Есть такая формула из книжки
Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивностей, Энергиe, 1970, стр. 70
$L=\frac{\mu\cdot l}{2 \pi}\cdot(ln(\frac{2l}{4})-3/4)$
но никаких пояснений о её смысле нет.
Я пытался сравнить её с результатами интегрирования поля для случая магнитостатики. Получается более-менее похоже, если брать интеграл по радиальной координате от R (радиус провода) до значения равного длине провода $l$. То есть такой типа квадратик (даже прямоугольник ). Но чем это обосновано я не знаю. Если интегрировать дальше - индуктивность растет до бесконечности.

[Zai]

powerZ писал(а):

Если интегрировать дальше - индуктивность растет до бесконечности.

Не кажется ли Вам как физику-практику, что рост до бесконечности несколько не физичен и нужно что-то подправить?

[Lexey]

powerZ писал(а):

Цитата:

Если вопрос о бесконечно длинном уединенном проводнике в вакууме, то какова его индуктивность на длине 1 м?

А бог его знает. Есть такая формула из книжки
Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивностей, Энергиe, 1970, стр. 70
$L=\frac{\mu\cdot l}{2 \pi}\cdot(ln(\frac{2l}{4})-3/4)$
но никаких пояснений о её смысле нет.
... Если интегрировать дальше - индуктивность растет до бесконечности.

Формула эта видимо для конкретной геомерии замкнутого проводника с оговоренными ранее в книжке пропорциями.
Практически чтобы говорить об индуктивности сперва нужно замкнуть цепь через воображаемый измеритель индуктивности. Если замыкать где-то на бесконечности, то и индуктивность будет бесконечной. Проще всего замкнуть коаксиальным экраном с радиусом R2, тогда
$L=\frac{\mu\cdot l}{2 \pi}\cdot ln(\frac{R2}{R1})$
если ток течет по поверхности провода, или
$L=\frac{\mu\cdot l}{2 \pi}\cdot(ln(\frac{R2}{R1})+1/4)$
если ток равномерный по сечению

[powerZ]

Zai писал(а):

powerZ писал(а):

Если интегрировать дальше - индуктивность растет до бесконечности.

Не кажется ли Вам как физику-практику, что рост до бесконечности несколько не физичен и нужно что-то подправить?

Как практику (но не физику - я инженер в области силовой электроники) мне кажется, что бесконечного уединенного проводника быть в природе не может, так что всё определяется в конечном итоге некими соглашениями о геометрии рассматриваемого объекта. Хотя, честно говоря, мне несколько странно почему при интегрировании по радиусу индуктивность растёт до бесконечности, ведь по сути это означает, что и запасённая энергия в таком участке провода (правда удельная, на единицу длины) растёт до бесконечности.

[gienna]

Один из видов токов смещения, это токи в незамкнутых проводниках, движущихся в магнитном поле (лоренцева индукция) в нестационарном режиме.
Например, в униполярном генераторе (линейном или вращающимся) в стационарном режиме наводится постоянная ЭДС, равная

\[ U = BVl \]

(линейный генератор, однородное поле, когда проводник длиной l перпендикулярен вектору V). Это значит, что заряды смещены, разделены лоренцевой силой и на одном конце движущегося проводника скопились отрицательные электроны, а другой заряжен положительно за счет «дырок» или вакансий. Если проводник незамкнут и скорость движения постоянна, то тока нет.
В нестационарном же режиме, когда проводник разгоняется или тормозится, заряды смещаются (движутся). Это значит, что в нестационарном режиме (

\[ V \ne const \]

) в проводнике течет ток - ток смещения. Этот ток смещения также вызывает появление силы Ампера, тормозящей проводник при разгоне.
Можно оценить ток смещения, возникающий в этом случае.
Сила Кулона, действующая на два одинаковых заряда в вакууме определяется по формуле:

\[ F = \frac{{q^2 }}{{l^2 }} \]

(СГСЭ), где l - расстояние между зарядами (длина проводника).
Напряженность электрического поля определяется как:

\[ E = \frac{F}{q} = \frac{q}{{l^2 }} \]

.
Тогда ЭДС, наведенная в проводнике длиной l будет равна:

\[ U = El = \frac{q}{l} = BVl \]

.
Следовательно заряд скопившийся на конце проводника будет равен:

\[ q = BVl^2 \]

.
И тогда ток смещения, текущий в проводнике при его разгоне в однородном магнитном поле с постоянным ускорением a будет определяться как:

\[ I_{cm} = \frac{{dq}}{{dt}} = B\frac{{dV}}{{dt}}l^2 = Bal^2 \]

.
Сила Ампера, тормозящая в этом случае проводник будет равна:

\[ F_A = IBl = B^2 al^3 \]

.
Таким образом, ток может течь и в разомкнутом проводнике, вызванный изменением потенциала по длине проводника и, как следствие, смещением (движением, перераспределением) зарядов вдоль проводника. Очевидно, что этот ток возникает в нестационарном режиме и может быть только переменным. В частности, токи смещения текут в приемных и передающих антеннах и их элементах (директоры и рефлекторы антенны "волновой канал")
Аналогичные токи смещения и силы должны возникать в тведых, жидких и газообразных диэлектриках (нестационарная поляризация) и в полупроводниках в случае их неравномерного движения в магнитном поле .

[Lexey]

powerZ писал(а):

Хотя, честно говоря, мне несколько странно почему при интегрировании по радиусу индуктивность растёт до бесконечности, ведь по сути это означает, что и запасённая энергия в таком участке провода (правда удельная, на единицу длины) растёт до бесконечности.

Во-первых, запасенная энергия запасается не в самом проводе, а в магнитном поле вокруг этого провода. Во-вторых, если интегрируете до бесконечности, то и длина провода необходимая для замыкания цепи вокруг этой бесконечности будет бесконечной.

[gienna]

С индуктивностью и фарадеевой ЭДС в незамкнутом проводнике и контуре (взаимоиндукция и самоиндукция) не так-то просто. Попробуйте определить ЭДС, наводимую в отрезке проводника, помещенного рядом с длинным (бесконечным) проводником с переменным током (простейший частный случай) использовав для этого первое уравнение Максвелла

\[ rot\vec E = - \frac{{d\vec B}}{{dt}} \]

или модное сейчас выражение

\[ \vec E = - \frac{{d\vec A}}{{dt}} \]

, где А - векторный потенциал. В эти выражения входит оператор rot (во второе - неявно, т.к.

\[ \vec B = rot\vec A \]

, в который по определения входят

\[ \partial x,\partial y,\partial z \]

. При интегрировании этих выражений обязательно "вылазит" ln линейного размера (в данном случае - расстояние между проводниками), который обязательно должен быть безразмерный.
В качестве примера возьмем формулу с векторным потенциалом (с первым уравнением Максвелла получается такой же результат).
Так как, по определению,

\[ \vec B = rot\vec A \]

, то для бесконечного проводника с током, направленного вдоль координаты Y, выражение для векторного потенциала будет иметь вид:

\[ \vec B = \frac{{dA_y }}{{dx}}\vec k \]

; тогда

\[ A = \int\limits_0^{x_1 } {B_x dx} \]

.
И выражение для ЭДС,наведенной в этом проводнике будет иметь вид:

\[ U = \int\limits_{\Delta L} {\vec Ed\vec L} = - \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\left( {\ln x_1 - \ln 0} \right)\frac{{dI}}{{dt}} \]

.
Надо отметить, что это выражение напоминает выражение для ЭДС самоиндукции

\[ U = - \frac{{d\Phi }}{{dt}} = - \frac{{d(LI)}}{{dt}} = - L\frac{{dI}}{{dt}} \]

при постоянной индуктивности L,
где

\[ L = \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\left( {\ln x_1 - \ln 0} \right) \]

. Правда, в этом выражении

\[ \ln 0 \to - \infty \]

, но, тем не менее, выражения похожи по форме.
Далее рассмотрим случай прямоугольного контура ABCD (проводники AB CD паралельны бесконечному проводнику и находятся на расстояниях х1 и х2 от него).
В этом случае, в контуре ABCD ЭДС, наводимые в проводниках AB и CD направлены встречно и частично компенсирует друг друга. Тогда суммарная ЭДС, наведенная в контуре ABCD, будет равна:

\[ U = - \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\ln \frac{{x_2 }}{{x_1 }}\frac{{dI}}{{dt}} \]

, и тогда

\[ L = \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\ln \frac{{x_2 }}{{x_1 }} \]

.
Это выражение, так же, похоже на выражения для индуктивности L, приведенные в Справочнике по физике Яворского и Детлафа на стр. 423 и полученные для случая самоиндукции в двух параллельных проводниках или коаксиальном кабеле. Правда, реальные эмпирические формулы для L, приведенные в справочниках получены радиотехниками–практиками для вполне конкретных элементов. Они содержат эмпирические коэффициенты и только очень отдаленно напроминают формулы для индуктивности, выведенные теоретически.
Абсурдность же формулы, полученной для ЭДС, наведенной в отрезке

\[ \Delta L \]

с «помощью векторного потенциала» очевидна – ЭДС тем больше, чем дальше отрезок от проводника с током (!?). Более того, формула не описывает случай самоиндукции, так как при x=0

\[ E \to \infty \]

.
В то же время, формула для контура получается вполне нормального вида:

\[ U = \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\ln \frac{{x_2 }}{{x_1 }}\frac{{dI}}{{dt}} \]

Точно такой же результат получается при интегрировании первой формулы Максвелла (можете проверить).

Я, конечно, далек от утверждения, что Стокс неправильно вывел свою теорему («косой градиент» - оператор rot. автоматически включает производные по координатам, как в случае rotE , так и в случае rotB что, как раз, и приводит к логарифму в решении). Но, так или иначе, неладно что-то с первым уравнением системы Максвелла. И вобще, не надо моделировать магнитное поле вихревым потоком идеальной жидкости (или, по крайней мере, надо понимать ограниченность такого "моделирования").

[powerZ]

gienna писал(а):

И выражение для ЭДС,наведенной в этом проводнике будет иметь вид:

\[ U = \int\limits_{\Delta L} {\vec Ed\vec L} = - \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }}\left( {\ln x_1 - \ln 0} \right)\frac{{dI}}{{dt}} \]

.

Да Вы чего ? Зависимость от $x$ начали по $z$ интегрировать! Уж если так рассуждать то вот что для отрезка получается:

\[ U = \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi x }}\frac{{dI}}{{dt}} \]

.

И никакой обратной зависимости

P/S Хотя может я чего не понял? У Вас отрезок как расположен - вдоль оси бесконечного провода?

Добавлено спустя 59 минут 39 секунд:

P.P.S. Эээ... Хотя если ещё немного подумать, то получается, что интегрировать по $x$ всё-таки придется. Но не от нуля и до координаты $x1$, а от $x1-r$ до $x1+r$, где r - радиус этого отрезка провода. Тогда получается вот что:

\[ U = \frac{{\mu _0 \Delta L}}{{2\pi }} {\ln \left(\frac{x1+r}{x1-r} \right)} \frac{{dI}}{{dt}} \]

.

Опять же, при росте расстояния $x1$ напряжение будет уменьшаться - никакого парадокса.

[gienna]

powerZ
Отрезок длиной

\[ \Delta L \]

расположен параллельно бесконечно длинному проводу на расстоянии

\[ x_1 \]

. Интегрировать от 0, формально, можно - бесконечно тонкий провод с бесконечно большой плотностью тока. При этом

\[ B \to \infty \]

Можно перейти к плотности тока J, но зависимость B(x) внутри провода будет другая и интегрировать прийдется от 0 до r и от r до x1, где r - радиус провода. В выражении для U вылазит минус и в подлогарифменном выражении члены меняются местами, т.е. получается

\[ \ln \left( {\frac{{x_2 }}{{x_1 }}} \right) \]

и, выходит, что чем дальше второй проводник (x2) от бесконечного проводника, тем больше в нем ЭДС. Кстати, если контур находтися в однородном но переменном магнитном поле, ЭДС, наводимые в проводниках контура компенсируют друг друга и U=0.
Но дело тут даже не в этом. И первое уравнение Максвелла и зависимость с вектрным потенциалом А не позволяют определить ЭДС в отдельном элементе контура (тот самый ln ), а эта ЭДС наводится и ее можно измерить. Об этом знал Максвелл и просил последователей дополнить его формулы, но никто так это и не сделал.
Я попробывал использовать выражение

\[ [\vec E] = \frac{{dB}}{{dt}} \]

(без rot.) Вот с ним получается получше. Оно неплохо описывает самоиндукцию и взаимоиндукцию. По нему можно определить ЭДС в отрезке проводника, но в зависимости для индуктивности выпадает линейный размер - длина проводника.
Тут сразу возникает вопрос о корректности Стокса, Гаусса, полных токов и прочих, основанных на моделировании магнитного поля потоком идеальной жидкости (поток вдоль изолиний!!??). Впрочем, от Стокса ничего другого нельзя было ожидать - он был одним из отцов-основателей газодинамики - знаменитые уравнения Навье-Стокса (кстати, в газодинамике своих проблем хватает).