нетривиальная задача про функции

[tsy]

$f_i, g_i, i=1, \ldots, n$, где $n \geq 2$ – два семейства функций. Все определены на $[0, 1]$, непрерывные и возрастающие. $f_i(0)=0, f_i(1)=1, g_i(0)=0, f_i(1)=1$. $f_i$ попарно различны, $g_i$ тоже попарно различны. Кроме того, $\sum_{i=1}^{n} f_i(x)=\sum_{i=1}^{n} g_i(x)$ при всех $x$ из $[0, 1]$ и $\sum_{i=1}^{n} g_i(f_i^{-1}(x))=nx$ при всех $x$ из $[0, 1]$.
Задача: показать, что $f_i=g_i, i=1, \ldots, n$ либо привести контрпример. Может, кто-то сможет решить. У меня уже что-то мозги дымят :)

[VPro]

$f_1=x, g_1=2x-2^x+1, f_2=\log_2(x+1), g_2=x, n=2$

[--mS--]

$f_1+f_2 \equiv g_1+g_2$?

[sup]

Достаточно построить контрпример в случае $n=2$.
Избавляемся от $f_1$. В силу монотонности и непрерывности можно ввести $f_1^{-1}$. Положим
$F=f_2(f_1^{-1}), G_1 = g_1(f_1^{-1}), G_2 = g_2(f_1^{-1})$
Тогда получим два уравнения (аналогичные исходным)

$y + F(y) =G_1(y) + G_2(y)$
$G_1(y) + G_2(F^{-1}(y)) = 2y$

Отсюда

$F(y) - G_2(y) = y - G_2(F^{-1}(y)) = F(F^{-1}(y)) - G_2(F^{-1}(y))$

Т.е, обозначив $U(y) =F(y) - G_2(y)$, получим

$U(y) = U(F^{-1}(y))$.

Достаточно найти нетривиальные $U,F$, удовлетворяющие этому соотношению. Тогда будет и нетривиальное решение исходной задачи. Там правда надо будет еще обеспечить монотонность, но это не сложно.

[tsy]

Надо добавить, что $U(0)=0$, $U(1)=0$, $F(0)=0$, $F(1)=1$, $F$ непрерывная монотонная, $U$ непрерывная, $U$ не везде 0, $F(y)$ не везде $y$.
Спасибо за идею. Если U в окрестности нуля монотонная, то в окрестности нуля имеем $y = F^{-1}(y)$ и $F(y) = y$. Это как бы намекает, что будут трудности с построением контрпримера с "хорошими", гладкими функциями. Здесь $U$ – разность монотонных функций, но ничто не запрещает ей самой в смысле монотонности вести себя довольно гадко. То-то, гляжу, при попытках численно подбирать контрпримеры с кусочно-линейными функциями у меня какие-то фракталы вылезали.
Таким образом, я вижу два пути:
1) Пытаться искать контрпример с использованием, грубо говоря, фракталов.
2) Пытаться доказать, что все же $f_i=g_i$.
Как делать первое, ума не приложу. Со вторым аналогично. Если удастся первое, то можно остановиться. Если удастся второе, то возникает проблема обобщения на случай $n>2$. Конечно, вовсе не факт, что можно обобщить.

[sup]

Зачем фракталы? Ну посудите сами.
$U(F(z)) = U(z)$
Это тривиально верно для любой $U$, там, где $F(z) = z$. Ну а там, где $F(z) \not = z$, уже положим $U(z) = 0$. Отсюда уже легко строится пример с какой угодно гладкостью.

[tsy]

Упс. Позор на мою седую голову. Все, действительно, очень просто. Спасибо! Могу объявить благодарность в статье за помощь в изобретении контрпримера (пишите в личку).