Является ли данный оператор положительно определенным?

[Alexey2014]

Рассмотрим интегральный оператор $K[\psi](x) = \int\limits^1_0\psi(y)\ln\Bigl(\Bigl|\frac{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-y^2}}\Bigr|\Bigr)\,dy$. Как можно проверить, является ли он положительно определенным в $L_2(0,1)$ или нет? Любая помощь, предложения и ссылки на литературу приветствуются.

[Vince Diesel]

Ядро положительно и симметрично. Из теоремы Ентча все следует.

[Alexey2014]

Vince Diesel, спасибо! Но там вроде только для непрерывных ядер, если я не ошибаюсь.

[Vince Diesel]

Для полярных, т.е. имеющих не слишком сильную особенность. Логарифмическая подходит.

[sup]

Прошу прощения, но в этой теореме речь идет только об одном характеристическом числе. Про остальные ничего не сказано. А нужна положительность всех чисел (стр. 317 п. 5). Без какого-то анализа ядра, положительная определенность не следует из положительности ядра. Точно также, как положительность элементов симметричной матрицы не гарантирует ее положительную определенность.

[Vince Diesel]

Упс! Да, что-то совсем не то я сказал.

[Alexey2014]

Как я понял, существует что-то типа критерия Сильвестра, описанный, например, здесь. Но похоже это путь не из легких((...Еще у меня такое чувство, что оператор будет положительным (т.е. собственные значения положительные, но не отграничены от нуля), но не положительно определенным, так как если составить матрицу жесткости используя кусочно-линейные функции, то минимальное собственное число будет постоянно уменьшаться при росте размера матрицы.

Еще вопрос. Я нашел обобщение теоремы Ентча. Там требуется вполне непрерывность оператора, вместо полярности ядра. Вопрос в том, в каком пространстве нужна эта вполне непрерывность: в $C[0,1]$ или в $L_2(0,1)$?

[ewert]

Alexey2014 в сообщении #821175 писал(а):

но не положительно определенным, так как если составить матрицу жесткости

Не надо составлять никакую матрицу: он компактен, поэтому ни о какой отделённости от нуля не может быть и речи.

[relic]

То, что оператор не может быть строго положительным (положительно определенным), конечно очевидно ввиду его компактности. Содержательный вопрос (хотя и расширяющий изначальную постановку - изначальная слишком тривиальна и можно предположить что автор просто не это имел в виду) собственно не в этом, а в том, является ли он (нестрого) положительным, т.е. что можно сказать по поводу следующих гипотез:

1. ядро состоит только из нуля
2. нет отрицательных собственных чисел

Ну и вообще, как решаются такие вопросы в общем случае, а не только для данного конкретного ядра. По аналогии с матрицами, где нужна положительность диагональных элементов и их преобладание над остальными в определенном смысле. Данное ядро в чем-то подобно: на диагонали оно положительно и даже с особенностью.

[Alexey2014]

relic, абсолютно верно!...Если бы ядро было непрерывным, то достаточно проверить критерий Сильвестра для всех матриц, составленных из значений ядра на произвольном конечном наборе точек. Тут же особенность на диагонали, которая намекает, что она и забьет все отрицательные члены при подсчете произведения элементов диагонали из разложения определителя. Но вот строго как это доказать, не понятно пока.

[relic]

Ну это как раз не проблема - приближаем ядро непрерывными ядрами (срезками данного ядра, для верности можно срезать не плоскими крышами, а двускатными), для каждого из них доказываем что надо и переходим к пределу. Имхо уже для приближенных ядер будет положительность, т.к. чует мое сердце что от ядра требуется положительность и монотонное убывание при отходе от диагонали. Проблема в том чтобы "проверить на всех наборах точек ...". Численно потыкаться - не проблема, но строгое док-во неясно.