В целых числах 2

[Andrey A]

Пусть $M=A^2+B^2$ ($A,B$ - вз. простые)
и
$m=p^n=a^2+b^2$ делит $M$ (p - простое).
Тогда при должном выборе знаков всегда можно получить целые $A_1=\frac{2abA\pm (a^2-b^2)B}{m}$ и $B_1=\frac{2abB\mp (a^2-b^2)A}{m}$ такие, что $A_1^2+B_1^2=M.$
Верно ли это утверждение? Если да, можно ли таким способом получить из первоначального все остальные отображения $M$ в виде суммы двух целых квадратов, используя новые пары и другие делители $M$ ?

[Andrey A]

Upd 7.02
Возможно, в общем виде вопрос выглядит интересней:
Пусть $M=PA^2+QB^2$ (слагаемые - вз. простые)
и
$m=pa^2+qb^2$ делит $M$, причем $pq=PQ$ ($m$ - степень простого).
Тогда при должном выборе знаков всегда можно получить целые $A_1=\frac{2abQB\pm (pa^2-qb^2)A}{m}$ и $B_1=\frac{2abPA\mp (pa^2-qb^2)B}{m}$ такие, что $PA_1^2+QB_1^2=M.$
Верно ли... и далее по аналогии.