Преобразование Фурье: k f(k) -> -idf(x)/dx, а |k| f(k) ?

[Divergence]

Обратное преобразование Фурье переводит
1) $k \, \tilde{f}(k)$ в производную функции $-i df(x)/dx$,
2) $k^2 \, \tilde{f}(k)$ в производную функции $- d^2f(x)/dx^2$,

Вопрос: Что получаем после обратного преобразования Фурье
функции умноженной на модуль т.е. для $|k| \, \tilde{f}(k)$?

Наверное $|k| \, \tilde{f}(k)$ - в производную функции по модулю $|x|$?
то есть в $ df(x)/d|x|$ или во что-то другое?

[ИСН]

Опять вспомнился анекдот про $\lim\limits_{x\to4}{1\over x-4}=\rotatebox{90}{4}$.

[Divergence]

В справочнике Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. (М.: Наука, 1969) указанный случай отсутствует.

[Divergence]

ИСН в сообщении #823102 писал(а):

Опять вспомнился анекдот про $\lim\limits_{x\to4}{1\over x-4}=\rotatebox{90}{4}$.

Уважаемый ИСН, а кроме анекдота, что нибудь по существу не подскажите?

[patzer2097]

Divergence в сообщении #823175 писал(а):

Уважаемый ИСН, а кроме анекдота, что нибудь по существу не подскажите?

так это не анекдот, а только его окончание. весь анекдот как-то так формулируется: в силу $\lim\limits_{x\rightarrow8}\,\frac{1}{x-8}=\infty$ имеем $\lim\limits_{x\to4}{1\over x-4}=\rotatebox{90}{4}$

[Vince Diesel]

А с чего бы там быть чему хорошему? Только производные являются локальными операторами, что для преобразования Фурье означает умножение на многочлен. Так что это будет какой-то оператор на пространстве основных функций. Для $g(k)=|k|$ имеем $g''(k)=2\delta(k)$, так что для обратного преобразования Фурье (с точностью до константы) $-x^2\hat g(x)=2$, $\hat g(x)=-2x^{-2}$. Поскольку эта функция не является локально интегрируемой в окресности нуля, то даже представить ответ в виде $\hat g*\hat f$ не получится. Разве что регуляризовать как-нибудь (в смысле главного значения мб).

[Divergence]

Vince Diesel в сообщении #823183 писал(а):

Так что это будет какой-то оператор на пространстве основных функций.

Это частный случай производной Рисса (дробной степени оператора Лапласа),
когда порядок целый $\alpha=1$ и $x \in \mathbb{R}^1$
(При $\alpha=2$ это Лапласиан со знаком минус).
Но что это за предельный (частный) случай не очень понятно.
Это что корень из Лапласиана, но для одномерия Лапласиан это $(d/dx)^2$.
Что значит корень из Лаgасиана это $\sqrt{(d/dx)^2}=|d/dx|$?

[Vince Diesel]

А, ну так и получится $-(-\Delta)^{1/2}f$ — регуляризованная свертка с ядром, которое я написал выше.