А с чего бы там быть чему хорошему? Только производные являются локальными операторами, что для преобразования Фурье означает умножение на многочлен. Так что это будет какой-то оператор на пространстве основных функций. Для

имеем

, так что для обратного преобразования Фурье (с точностью до константы)

,

. Поскольку эта функция не является локально интегрируемой в окресности нуля, то даже представить ответ в виде

не получится. Разве что регуляризовать как-нибудь (в смысле главного значения мб).