Уравнение Гельмгольца

[beha89]

Объясните, пожалуйста, физический смысл уравнение Гельмгольца:
$(\Delta_2+\omega^2)\Psi(x,y)=0$

[Munin]

Ни у одного уравнения нет физического смысла самого по себе. Всегда физический смысл появляется, если речь о конкретной теории. Например, уравнение $\ddot{x}+\omega^2x=0$ может описывать и пружинный маятник, и электрический колебательный контур.

Уравнение Гельмгольца в физике возникает в разных волнах: оптика, акустика, волны на воде и т. п. Оно отображает интерференцию и дифракцию для стационарной волновой картины, когда все волны имеют одну заданную частоту, и картина не сдвигается со временем. В волновое уравнение подставляете $\mathit{\Psi}(t)=\Psi\,e^{i\omega t},$ и производные по времени превращаются в умножение на постоянный коэффициент $i\omega.$

[alien308]

Говоря попросту -- уравнение стоячей волны.

[Munin]

Точно. Со мной склероз случился, видимо.

[beha89]

На самом деле задал этот вопрос, чтобы разобраться с константой $\omega$. Из выше написанного(если я правильно понял) следует, что константа $\omega$ может принимать любое число, достаточно малое или большое? Если да то, можно ли уравнение Гельмгольца, например ограничить условием(или другими путями), чтобы константа $\omega$ принимала либо достаточное маленькое число, либо большое?

[Munin]

Вообще, хоть она тут и названа $\omega,$ но логичней её назвать $k.$ Эта константа - волновое число (модуль волнового вектора) для искомой стоячей волны, то есть $k\equiv 2\pi/\lambda$ - обратная длина волны.

Разумеется, она может принимать какое угодно значение, и малое, и большое. Но по сути, для математики видно, что эта величина размерная: она имеет размерность $\mathrm{L}^{-1},$ и изменением масштаба единиц измерения длины уравнение всегда может быть приведено к виду $k=1.$ Просто от этого изменятся масштабы той области, в которой ищется решение: она увеличится или уменьшится, чтобы сохранить своё соотношение с длиной волны.