Помогите вычислить определитель.

[volchenok]

$$ \left|\begin{array}{cccc} a_{1}+b_{1} & a_{2} & \ldots\ & a_{n}\\ a_{1} & a_{2}+b_{2} & \ldots\ & a_{n}\\ \ldots\ & \ldots\ &\ldots\ &\ldots\\ a_{1} & a_{2}&\ldots\ & a_{n}+b_{n} \end{array}\right|$$

Подскажите, пожалуйста, как вычислить определитель этой матрицы! Я догадываюсь, что тут нужно воспользоваться полилинейностью определителя и даже ответ приблизительно представляю какой будет (в виде сумм), но что-то не получается. Помогите пожалуйста.

[Vova_Gidro]

Прибавте к каждой строке, начиная со второй, первую, умноженную на -1.

[volchenok]

Спасибо большое. Как это я такого не увидел... А потом раскладывать по первой строке?

[Vova_Gidro]

Можно и раскладывать. А можно с каждого i-ого столбца вынести $b_i$.

[volchenok]

$$ \left|\begin{array}{cccc} a_{1}+b_{1} & a_{2} & \ldots\ & a_{n}\\ -b_{1} & b_{2} & \ldots\ & 0\\ \ldots\ & \ldots\ &\ldots\ &\ldots\\ -b_{1} & 0_{2}&\ldots\ & b_{n} \end{array}\right|$$

Ну вот что получилось. Выносить b_{i} нужно для того чтобы единички образовались или еще для чего то? Я пока вижу следующим шагом разложение по первой строке или столбцу. Может его можно еще упростить?

[Vova_Gidro]

Вынесите с первого столбца $b_1$, со второго $b_2$ и т. д. И напишите здесь результат.

[volchenok]

$$ \left|\begin{array}{cccc} a_{1}/b_{1}+1 & a_{2}/b_{2} & \ldots\ & a_{n}/b_{n}\\ -1 & 1 & \ldots\ & 0\\ \ldots\ & \ldots\ &\ldots\ &\ldots\\ -1 & 0&\ldots\ & 1 \end{array}\right|$$

[Vova_Gidro]

Вы пропустили перед определителем множитель $b_1b_2...b_n$. А теперь внимательно посмотрите на первый столбик и на все остальные.

[volchenok]

Да. Я пропустил умішденно так как в итоге мне нужно будет приравнять его к нулю. А с первым столбцом я не знаю. Извините, может не с той ноги встал и не вижу очевидного. Прибавивши его ко всем остальным столбцам я получу только нулевую диагональ за исключением первого элемента.

[Vova_Gidro]

А вы попробуйте прибавить к первому столбцу все остальные))

[volchenok]

$$ \left|\begin{array}{cccc} a_{1}/b_{1}+1 &a_{1}/b_{1}+1+ a_{2}/b_{2} & \ldots\ & a_{1}/b_{1}+1+a_{n}/b_{n}\\ -1 & 0 & \ldots\ & -1\\ \ldots\ & \ldots\ &\ldots\ &\ldots\\ -1 & -1&\ldots\ & 0 \end{array}\right|$$

[Vova_Gidro]

Вы не правильно поняли. Нужно к первому столбцу прибавить второй, третий и т.д. То есть, изменится первый столбец, а все остальные останутся без изменений.

[volchenok]

Все получилось. Спасибо большое что довели до конца и не говорили сразу ответ а поступили педагогически правильно.

[Vova_Gidro]

Да не за что. А вот ответ хотелось бы увидеть)

[volchenok]

b_1b_2...b_n sum_i (a_i/b_i+1)

-- Пн фев 03, 2014 14:01:48 --

Извините латехом не сильно владею