пространства Соболева

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим функцию $u\in H^s(\mathbb{R}^m)$. Предположим в $\mathbb{R}^m$ задана гладкая кривая $x:[0,1]\to \mathbb{R}^m,\quad \dot x(t)\ne 0$.

верно ли что

1) $u(x(t))\in H^{s-(m-1)/2}([0,1]),\quad s-(m-1)/2>0$ ?

2) насколько гладкой должна быть кривая что бы это было верно ?

3) где прочитать?

[Dan B-Yallay]

Oleg Zubelevich в сообщении #822181 писал(а):

верно ли что
1) $u(x(t))\in H^{s-(m-1)/2}([0,1]),\quad s-(m-1)/2>0$ ?

Похоже на многократное ($m-1$ раз) применение теоремы о следе - Trace Theorem.

Renardy-Rogers, An introduction to Partial Differential Equations.

[Oleg Zubelevich]

я так и рассуждал, а что с пунктом 2)?

[Dan B-Yallay]

Не помню. Надо смотреть обозначение $\mathcal D(\mathbb R^m)$. Счас у меня час ночи - поэтому завтра только. Или сами посмотрите.

[Oleg Zubelevich]

по-моему Вы какую-то чепуху сказали

[Dan B-Yallay]

Oleg Zubelevich в сообщении #822253 писал(а):

по-моему Вы какую-то чепуху сказали

Да. Спутал обозначение для множества распределений с чем то...

В общем в разделе 7.2.1 Some comments on the domain $\Omega$ на странице 207 той же книги главы "Sobolev spaces" есть пояснение:

Цитата:

... but we shall state some results for Lipschitz domains.

и затем дается определение липшицева домена как имеющего uniform Lipschitz continuos границу (локально).

Думаю, что за этим весь последующий материал излагается с учетом данного предположения. Других идей нет.

[Oleg Zubelevich]

Спасибо, тему можно закрывать. Как это частно бывает, неправильные вопросы пропадают, когда появляются правильные рассуждения (лирика)