Разминка

[student]

Brukvalub писал(а):

3. Ус-ия непрерывности нету

А по моему 3-ей задаче достаточно$f(0)=0.$ Или не так?
Потому что для любого фиксированного $x$\ \ $\frac{x}{2^n}$стремится к $0$ при $n\to \infty.$

[Юстас]

В 3й задаче сделаем замену $q(x)=\frac{f(x)}{x^2}+1$, тогда уравнение перепишется $q(x)=2q(\frac x 2 )$. Пусть $R_x=\{x \cdot 2^k, \ k\in \mathbb{Z} \}$- класс чисел, эквивалентных $x$. Заметим, что для различных $x, \ y$ эти классы либо не пересекаются, либо совпадают. Представим $\mathbb{R}$ как объединение таких непересекающихся классов, выберем из каждого по представителю $y\in R_x$ и зададим произвольно $q(y)$. Такое построение однозначно определяет $q(x) \ \forall \ x$, а следовательно и $f(x)$, с добавлением $f(0)=0$.

[Руст]

InSidEr писал(а):

Решить след. функ. ур-ия :
1.

\[ f(x) + f(y) = f(\sqrt {x^2 + y^2 } ) \]

2.

\[ f \in C\left[ {0,1} \right]:\]

\[ 2f(x) = f(\frac{x}{2}) + f\left( {\frac{{x + 1}}{2}} \right) \]

1. Поставим y=x, а потом x=u+v,y=u-v, получаем, что для решений выполняется
$f(u+v)+f(u-v)=2f(u)+2f(v)$.


3. Ус-ия непрерывности нету

\[ f(x) - \frac{1}{2}f(\frac{x}{2}) = x^2 \]

Все функциональные уравнения линейные (3-ю можно считать линейным не однородным по терминологии диффуров).
3. Последняя очевидно сводится к $f(x)=g(x)+\frac 87 x^2, g(x)=\frac 12 g(\frac x2 ).$
Без непрерывности это уравнение имеет следующее решение
$g(0)=0,g(x)=\frac{\phi_1(ln x)}{x}, x>0,g(x)=\frac{\phi_2(ln|x|)}{x}, x<0,$
где указанные функции периодичные с периодом ln(2).
1. Поставив у=х, а потом x=u+v,y=u-v получаем, что $f(u+v)+f(u-v)=2f(u)+2f(v)$.

Решением этого уравнения являются только квадраты аддитивных функций с точностью до постоянного множителя. Но квадраты разрывных аддитивных функций не удовлетворяют исходному.

[InSidEr]

1.Найти все

\[ f\left( x \right) \]

, удовлетворяющие тождеству:

\[ xf(y) + yf(x) \equiv \left( {x + y} \right)f\left( x \right)f\left( y \right)f\left( {x + y} \right),x \in R \]

2. Найти решения фу-го ур-ия,

\[ f\left( x \right) \in C\left( R \right) \]

\[ f\left( {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right) = x \]

3. Найти все дифференцируемые ф-ии, удовлетворяющие тождеству:

\[ f^\prime \left( {\frac{{x + y}}{2}} \right) = \frac{{f\left( y \right) + f\left( x \right)}}{{y - x}},x,y \in R,x \ne y \]

4.Найти все ф-ии

\[ f\left( x \right) \]

, которые определяются след. свойством :

\[ f\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{y \in R} (x\left( {xy - f\left( y \right)} \right))\forall x \in R \]