2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача оптимального быстродействия на примере тележки
Сообщение29.01.2014, 23:21 


20/02/13
33
Здравствуйте!

Нужно разобраться в такой задаче, решение которой переписывается с методички. Все непонятные места помечаются.

Пусть имеется тележка, движущаяся прямолинейно без трения по горизонтальным рельсам. Тележка управляется некоторой внешней силой, которую можно изменять в определенных пределах. Нужно остановить тележку в определенной точке, причем сделать это за кратчайшее время.

Дана следующая математическая модель задачи:

Пусть масса тележки равна $m$, ее начальная координата $x_0$, а начальная скорость $v_0$. Силу, которая воздействует на тележку, обозначим через $u$ (причем $u \in [u_1,u_2]$), а текущую координату тележки через $x(t)$, где $t$ - текущий момент времени. Из второго закона Ньютона известно, что $m\ddot{x}=u$.

Представим тележку как материальную точку. Пусть эта материальная точка имеет массу $m$ и движется по прямой в соответствии с законом $m\ddot{x}=u$, где $x$ - ее координата. Необходимо найти такую функцию управления $u(t)$, которая переводила бы точку из начального положения $x_0$ в начало координат за минимальное время $T$. Более формально:
$$\left\{ \begin{align}
& T \to \min , \\ 
& m\ddot{x}=u, u \in [u_1,u_2], \\ 
& x(0)=x_0,\dot{x}(0)=V_0,x(T)=\dot{x}(T)=0. \\ 
\end{align} (1)$$

Упростим эту задачу. Чтобы уменьшить число ее параметров, выполним следующую замену:
$$x(t)=a\xi (t)+b(t-T)^2,$$
где $a$ и $b$ - некоторые действительные параметры. Имеем:
$ma\ddot{\xi }(t)+2mb=u$, $\ddot{\xi }(t)=\frac{u-2mb}{ma}$
Выберем параметры $a$ и $b$ так, чтобы при $u_1\leqslant u\leqslant u_2$
$-1\leqslant \frac{u-2mb}{ma}\leqslant +1$
Получим
$a=\frac{u_2-u_1}{2m},$ $b=\frac{u_1+u_2}{4m}$
Тогда $\ddot{\xi}(t)={w_0}, w \in [-1,+1]$.
Переобозначив $\xi ( t )$ через $x( t )$, $w$ - через $u$ получим задачу вида (1) (но с другими значениями параметров ${{x}_{0}}, {V_0}, {{m}_{0}}={{1,}_}{u_1}=-{{1,}_}{{u}_{2}}=1$). Обозначив $x={{x}_{1}}, \dot{x}={{x}_{2}}$, имеем:
$$\left\{ \begin{align}
  & T=\int\limits_{0}^{T}{1\cdot dt}\to \min , \\ 
 & {{{\dot{x}}}_{1}}={{x}_{2}}, {{{\dot{x}}}_{2}}=u, u\in [ -1,1 ], \\ 
 & {{x}_{1}}( 0 )=x_{1}^{0}, {{x}_{2}}( 0 )=x_{2}^{0}, {{x}_{1}}( T )={{x}_{2}}( T )={{0,}_}t\in [ 0,T ]. \\ 
\end{align} (2)$$
(Вопрос 1)
Применим к задаче (2) принцип максимума Понтрягина. Начальное положение $( x_{1}^{0},x_{2}^{0} )$ при $t=0$ и конечное положение $(0,0)$ при $t=T$ фиксированы, а сам конечный момент времени $T$ не фиксирован.
Функция Гамильтона для задачи (2) имеет вид:
$$H(x_{1} ,x_{2} ,u,\psi _{0} ,\psi _{1} ,\psi _{2} )=\psi _{0} +\psi _{1} x_{2} +\psi _{2} u.$$
Решая сопряженную систему
$\dot{\psi}_1=H_{x_1}'$, $\dot{\psi}_2=H_{x_2}'$, ($H_{x_1}'=0$, $H_{x_2}'=\psi_1$), получаем в явном виде общее решение
${{\psi }_{1}}( t )=C, {{\psi }_{2}}( t )=-Ct+D,$ (Вопрос 2)
где $C$, $D$ - константы.
Очевидно, что максимум функции $H$ по $u\in U$ достигается при
$$u( t )=\left\{ \begin{align}
  & {{1,}_}{_}{{\psi }_{2}}( t )>0, \\ 
 & -{{1,}_}{_}{{\psi }_{2}}( t )<0. \\ 
\end{align}$$
Таким образом, оптимальное управление $u$ может принимать лишь два значения: $u=+1$ или $u=-1$, и имеет (в силу линейности функции ${{\psi }_{2}}$) не более одной точки переключения (Вопрос 3), т.е. такой точки, в которой функция $u$ меняет знак.
a) Сначала, для определенности, рассмотрим случай, когда $x_{1}^{0}={{1,}_}x_{2}^{0}=0$. Убедимся, что управления $u( t )\equiv {{1,}_}u( t )\equiv -1$ и
$$u( t )=\left\{ \begin{align}
  & {{1,}_}{_}0\leqslant t\leqslant {{t}_{1}}, \\ 
 & -{{1,}_}{_}{{t}_{1}}\leqslant t\leqslant T. \\ 
\end{align}$$
не могут перевести фазовую точку из положения $( 1,0 )$ в начало координат.
Действительно, если $u( t )\equiv 1,$ то $\ddot{x}=1$. Отсюда $x( t )=1+\frac{{{t}^{2}}}{2}>{{0}_}\forall t\in [ 0,T ]$ (Вопрос 4) и мы никогда не можем попасть в начало координат. Если $u( t )\equiv -1$, то $\ddot{x}=-{{1,}_}x( t )=1-\frac{{{t}^{2}}}{2}=0$ при $t=\sqrt{2}$, т.е. $T=\sqrt{2}$. Но $\dot{x}( \sqrt{2} )=-\sqrt{2}\ne 0$, т.е мы можем попасть в начало координат, но при этом скорость будет отлична от нуля (в рассматриваемом случае $x_{1}^{0}={{1,}_}x_{2}^{0}=0$ скорость равна $x_{2}^{0}=0!$). Аналогично и для третьего уравнения $u( t )=1$ $( t\in [ 0,{{t}_{1}} ] )$, $u( t )=-1$ $( t\in [ {{t}_{1}},T ] )$. Имеем
$\ddot{x}={{1}_}( 0\leqslant t\leqslant {{t}_{1}} )\Rightarrow \dot{x}( t )=\dot{x}( 0 )+t=t\Rightarrow x( t )=1+\frac{{{t}^{2}}}{2},$ (Вопрос 5)
$\ddot{x}=-{{1}_}( {{t}_{1}}\leqslant t\leqslant T )\Rightarrow \dot{x}( t )=\dot{x}( {{t}_{1}} )-( t-{{t}_{1}} )\,\,\Rightarrow x(t)+\dot{x}( {{t}_{1}} )(t-{{t}_{1}})-\frac{{{(t-{{t}_{1}})}^{2}}}{2}$,
где ${{x}_{1}}=1+\frac{t_{1}^{2}}{2}$ (Вопрос 6), $\dot{x}( {{t}_{1}} )={{t}_{1}}$. Отсюда видно, что не существует момента времени $T$, для которого выполнялись бы условия $x( T )={{0,}_}\dot{x}( T )=0$, (всегда мы имеем $\dot{x}( T )<0!$).
Остается управление
$$u( t )=\left\{ \begin{align}
  & -{{1,}_}{_}0\leqslant t\leqslant {{t}_{1}}, \\ 
 & {{1,}_}{_}{{t}_{1}}\leqslant t\leqslant T. \\ 
\end{align}$$
Такому управлению и начальным условиям ${{x}_{1}}( 0 )={{1,}_}{{x}_{2}}( 0 )=0$ соответствует траектория (выкладки аналогичны проведенным выше)
$${{x}_{1}}( t )=\left\{ \begin{align}
  & 1-\frac{{{t}^{2}}}{2}, {_}0\leqslant t\leqslant {{t}_{1}}, \\ 
 & \frac{{{t}^{2}}}{2}-2{{t}_{1}}t+t_{1}^{2}+{{1,}_}{_}{{t}_{1}}\leqslant t\leqslant T, \\ 
\end{align}$$
$${{x}_{2}}( t )=\left\{ \begin{align}
  & -t, {_}0\leqslant t\leqslant {{t}_{1}}, \\ 
 & t-2t, {_}{{t}_{1}}\leqslant t\leqslant T. \\ 
\end{align}$$
Из условий ${{x}_{1}}( T )={{x}_{2}}( T )=0$ находим ${{t}_{1}}={{1,}_}T=2.$
Итак, принцип максимума позволил нам выделить единственное управление
$$u( t )=\left\{ \begin{align}
  & -{{1,}_}{_}0\leqslant t\leqslant {{t}_{1}}, \\ 
 & {{1,}_}{_}{{t}_{1}}\leqslant t\leqslant T. \\ 
\end{align}$$
Это есть и оптимальное управление, так как из физических соображений ясно, что решение исходной задачи существует. Следовательно, оптимальна и соответствующая траектория
$${{x}_{1}}( t )=\left\{ \begin{align}
  & 1-\frac{{{t}^{2}}}{2}, {_}0\leqslant t\leqslant 1, \\ 
 & \frac{{{( t-2 )}^{2}}}{2}, {_}1\leqslant t\leqslant 2. \\ 
\end{align}$$
$${{x}_{2}}( t )=\left\{ \begin{align}
  & -t, {_}0\leqslant t\leqslant 1, \\ 
 & t-{{2,}_}{_}1\leqslant t\leqslant 2. \\ 
\end{align}$$
Вообще, нужно еще рассмотреть случай (б), когда начальное положение $(x_{1}^{0},x_{2}^{0})$ не фиксировано, но это требует более сложных выкладок, поэтому я не буду набирать его из книги и постараюсь разобраться с пунктом (а).

Теперь вопросы:

1) Почему у нас при замене $\dot{x}_2=u$, и откуда берется условие ${{x}_{1}}( 0 )=x_{1}^{0}, {{x}_{2}}( 0 )=x_{2}^{0}, {{x}_{1}}( T )={{x}_{2}}( T )=0$? И вообще, почему мы можем сводить задачу оптимального быстродействия к эквивалентной? Возникает аналогия с определенным интегралом: заменили переменную и соответствующие пределы, а результат не изменился. Но как это объяснить для задачи оптимального быстродействия?

2) Почему ${{\psi }_{2}}( t )=-Ct+D$? Ведь должно быть ${{\psi }_{2}}( t )=Ct+D$, ведь $C$ - общая константа для двух решений.

3) Как показать, что у функции $u$ не более одной точки переключения, и как используется точка переключения в принципе максимума Понтрягина?

4) Непонятны выкладки. Почему $x(t)=1+\frac{{{t}^{2}}}{2}$? Если мы решим диф. уравнение, то получим ответ $x(t)=C+\frac{{{t}^{2}}}{2}$, где $C$ - любая, в том числе отрицательная константа.

5) Совсем неясно, почему $\dot{x}( t )=\dot{x}( 0 )+t=t$.

6) Наверное, здесь опечатка: ${{x}_{1}}=1+\frac{t_{1}^{2}}{2}$, так как у нас в задача даже нет $x_1$. Но что должно быть вместо него, я так и не понял.

Спасибо за внимание!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача оптимального быстродействия на примере тележки
Сообщение30.01.2014, 07:08 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Для начала поймите, как от уравнения второго порядка переходить к системе двух уравнений первого порядка. Несколько вопросов после этого решатся сами собой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача оптимального быстродействия на примере тележки
Сообщение30.01.2014, 13:39 
Аватара пользователя


26/05/12
1534
приходит весна?
А разве не очевидно, что тележка пройдёт заданное расстояние за кратчайшее время, при максимальном по модулю ускорении? Осталось только удачно выбрать момент, в который поменять направление ускорения, чтобы тележка остановилась в заданной точке. Или я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача оптимального быстродействия на примере тележки
Сообщение30.01.2014, 14:00 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
topic80645.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group