Вопрос про билинейную форму

[provincialka]

То есть как произвольны? Мы знаем что-то только о тех парах, для которых выполняется $\alpha(v,w)=0$. Ниоткуда пока не следует, что такие пары (кроме тривиальных) вообще существуют.

[Nemiroff]

Я, честно говоря, тоже не очень осознал, как быстро от эквивалентности двух уравнений перейти к доказательству. Могу предложить иной вариант решения: сперва бы только хотелось от ТС какой-то внятный ответ получить, с чем он там разобрался.

[provincialka]

Кстати, а на каком пространстве задана эта форма? Можно ли там ввести, например, базис. Конечный (?).

[svv]

Билинейная форма $\alpha$ со свойством $\alpha(v,w) = 0 \Leftrightarrow \alpha(w,v) = 0$ называется рефлексивной.

Доказательство того, что рефлексивная форма либо симметрична, либо кососимметрична, есть в книге Larry Grove «Classical Groups and Geometric Algebra» (proposition 2.7).

[Утундрий]

provincialka в сообщении #820525 писал(а):

То есть как произвольны? Мы знаем что-то только о тех парах, для которых выполняется . Ниоткуда пока не следует, что такие пары (кроме тривиальных) вообще существуют.

Так тогда задачи нет. Но мы знаем, что она есть. Стало быть ТС привёл не все условия. Элементарно!

[svv]

(Оффтоп)

Миша Вербицкий простых задач не даёт. Задача 1.12

[g______d]

(решение в лоб)

Ну пусть $(\cdot,\cdot)$ — скалярное произведение, $A$ — изображающая матрица формы в нем. Тогда получаем, что $(Au,v)=0$ титтк $(A^*u,v)=0$. Следовательно, $Au$ всегда пропорционально $A^*u$. Далее, у $A$ есть хотя бы один собственный вектор. Он же является собственным для $A^*$, следовательно, порожденное им одномерное подпространство отщепляется и приводит оба оператора. Повторяя процедуру, получаем, что $A$ коммутирует с $A^*$ и оба диагонализуемы унитарным/ортогональным преобразованием. Кроме того, у них совпадают ядра: $Au=0$ титтк $A^*u=0$. Т. е. нулевые собственные значения одинаковые, осталось проверить ненулевые.

Для этого сузим операторы на ортогональное дополнение к (общему) ядру, они станут обратимыми, и посмотрим на $B=A(A^*)^{-1}$. Он обладает тем свойством, что $Bu$ всегда пропорционален $u$, и $B$ нормален. Следовательно, $B$ скалярен (упражнение). Значит, $A$ и $A^*$ отличаются скалярным множителем. Квадрат этого скалярного множителя равен единице, поскольку двойное сопряжение тождественно.

[AV_77]

provincialka в сообщении #820525 писал(а):

То есть как произвольны? Мы знаем что-то только о тех парах, для которых выполняется $\alpha(v,w)=0$. Ниоткуда пока не следует, что такие пары (кроме тривиальных) вообще существуют.

Если $v$ фиксировать, то получим линейную функцию $l(x) = \alpha(v, x)$. При этом либо $\dim \ker l = 0$, но тогда пространство одномерно, либо $\operatorname{codim} \ker l \leq 1$ и есть нетривиальные пары векторов с нужным условием.

[patzer2097]

provincialka в сообщении #820543 писал(а):

Кстати, а на каком пространстве задана эта форма? Можно ли там ввести, например, базис. Конечный (?).

а это неважно, на любом пространстве это работает, я выше писал:
(1) доказываем, что линейные функционалы отличаются на постоянный множитель, если они имеют одинаковые ядра (это легко);
(2) в условиях задачи в виду (1) имеем $\alpha(u,v)=c_u\alpha(v,u)$, где $c_u$ зависит только от $u$;
(3) в виду условия $\alpha(u,v)=0\leftrightarrow\alpha(v,u)=0$ можем считать, что $c_u$ не обращается в $0$, тогда в виду пункта (2) $c_uc_v=1$ при всех $u$ и $v$;
(4) из пункта (3) следует, что $c_u=1$ при всех $u$ или $c_u=-1$ при всех $u$. Что и требовалось