Поток вектора плотности. Единица времени.

[songbird]

Добрый вечер! Такой вопрос:
В учебниках говориться:

Выражение $\oint_{S}\vec{j}\vec{dS}$ дает заряд , выходящий за единицу времени из объема $V$, ограниченного поверхностью $S$."

То есть , это ведь просто сила тока $I$ через данную поверхность, верно? Но ведь сила тока только численно равна заряду , вышедшему через данную поверхность за единицу времени, при условии , что сама сила тока будет являться постоянной по времени. Но почему же тогда в выше стоящем предложении пишут, что за единицу будет выходить именно такое количество заряда? Ведь сила тока может быть переменной же величиной во времени и тогда уже придется брать интеграл $\int_{t_1}^{t_2}I(t)dt$,где $t_2-t_1$ - единица времени( секунда к примеру). Объясните пожалуйста.

[Munin]

songbird в сообщении #819699 писал(а):

То есть , это ведь просто сила тока $I$ через данную поверхность, верно?

Да.

songbird в сообщении #819699 писал(а):

Но ведь сила тока только численно равна заряду , вышедшему через данную поверхность за единицу времени

Нет, она равна ему по определению.

Здесь "за единицу времени" подразумевает $\lim\limits_{\Delta t\to 0}\tfrac{\Delta Q}{\Delta t}\equiv\tfrac{dQ}{dt}.$

Точно:

$$\int\limits_{S}\vec{j}(t)\,d\vec{S}=I(t)=\dfrac{dQ}{dt},$$

$$\int\limits_{t_1}^{t_2}\biggl(\int\limits_{S}\vec{j}(t)\,d\vec{S}\biggr)dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}I(t)\,dt=Q.$$

И в случае постоянных по времени величин $\vec{j}(t)=\mathrm{const},$ $I(t)=\mathrm{const},$

$$\Delta t\int\limits_{S}\vec{j}\,d\vec{S}\right=I\,\Delta t=Q,$$

а если эти величины переменные по времени, это равенство будет верно лишь приближённо.

И наконец, я не пишу $\oint,$ потому что это верно для тока через любую поверхность, а не только замкнутую. Но, соответственно, там будет заряд, прошедший через поверхность, а не заряд, вышедший из объёма, ограниченного этой поверхностью.

[songbird]

Munin в сообщении #819716 писал(а):

Здесь "за единицу времени" подразумевает $\lim\limits_{\Delta t\to 0}\tfrac{\Delta Q}{\Delta t}\equiv\tfrac{dQ}{dt}.$

Хм, никак не пойму , как за "единицу времени" можно подразумевать силу тока через поверхность в определенный момент времени?

[Munin]

Это условность речи. Скажем, единица измерения тока - ампер - равна кулону в секунду. Вот это вот "в секунду" и произносится как "в единицу времени", если мы хотим отвлечься от конкретно системы СИ. Но это не значит, что мы должны ждать с секундомером именно секунду. Если у нас ток быстропеременный, то мы можем подразумевать миллисекунду, микросекунду и так далее. Вплоть до такого временно́го разрешения, что начнём замечать прохождение отдельных электронов :-)

[songbird]

То есть , под " единицей времени" может являться ( если понадобиться ) и одна треть секунды?(к примеру)

[Munin]

Ну да. В системе единиц измерения, где за единицу времени выбрана третьсекунды :-)

Миллисекунда - это тоже единица времени, только дольная от основной. Кулон в миллисекунду легко перевести в кулоны в секунду: $1\tfrac{\text{Кл}}{\text{мс}}=\tfrac{1\text{ Кл}}{1\text{ мс}}=\tfrac{1\text{ Кл}}{10^{-3}\text{ с}}=10^{3}\tfrac{\text{Кл}}{\text{с}}.$

[rustot]

songbird в сообщении #819734 писал(а):

Хм, никак не пойму , как за "единицу времени" можно подразумевать силу тока через поверхность в определенный момент времени?

так же как допустим "мгновенная скорость". как может скорость существовать в какое то определенное мгновение, если она определена через перемещение, а никакого перемещения в этом "мгновении" нет? мы просто берем вместо мгновения промежуток времени, начинающийся (или заканчивающийся) в это мгнговение и вычисляем среднюю скорость на этом промежутке. сокращая этот промежуток до бесконечно малой величины и получаем ту самую "мгновенную скорость", которая средняя на бесконечно малом промежутке времени. мгновенная величина тока получается точно таким же образом

в случае с плотностью тока вы не сможете до бесконечности уменьшать $dt$, в какой-то момент вы наткнетесь на дискретность заряда. и при дальнейшем уменьшении $dt$ вы вместо дальнейшего стремления тока к какой-то определенной величине, получите то временные промежутки с нулевым током, когда ни один из зарядов в течение этих промежутков не пересек воображаемую поверхность, то временные промежутки с огромными по величине токами когда один из зарядов конечной величины пересекает поверхность за бесконечно малое время.

а вот "полный ток", $\int (\vec{j} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}) dS$ таких проблем с пределами не имеет, в нем $\partial t$ можно уменьшать до бесконечности и ни к каким разрывам это не приводит. потому-что пока заряд только подлетает к поверхности и $\vec{j} = 0$ мы имеем нарастание $\vec{D}$. а в момент когда заряд перемекает поверхность и мы имеем бросок $\vec{j}$ одновременно меняется знак $\vec{D}$, происходит обратный бросок второго слагаемого и сумма в целом остается монотонной функцией, колоколообразной, плавно нарастающей по мере приближения заряда к поверхности и плавно же убывающей по мере его удаления. суммирование множества "колоколов" от множества зарядов приводит к практически горизонтальной линни графика полного тока при любом разрешении по $t$

[Ismatulla]

songbird в сообщении #819734 писал(а):

Хм, никак не пойму , как за "единицу времени" можно подразумевать силу тока через поверхность в определенный момент времени?

Если у вас переменный ток в какой-то момент времени равен 2 А, т.е. 2 Кл/с, это значит, что, если ток остался бы с этого момента постоянным, то за секунду прошел бы 2Кл заряда.

[Munin]

rustot в сообщении #819909 писал(а):

в случае с плотностью тока вы не сможете до бесконечности уменьшать $dt$, в какой-то момент вы наткнетесь на дискретность заряда.

В общем, ни с какой физической величиной не удаётся взять реальный экспериментальный предел $\lim\limits_{\Delta p\to 0}\tfrac{\Delta f(p)}{\Delta p}.$ Всегда начинаются какие-то атомарности, квантование, шумы с разными причинами и ограниченная точность приборов.