Функции бесконечного произведения.

[DiMath]

Доброго времени суток.
Необходима Ваша помощь.
Дана непрерывная функция $f(x,s)=\prod (1- \frac{x^s}{p^s}) $, где $p$ пробегает все простые числа.
Задача представить эту функцию через дзета-функцию Римана или близкую к этому виду. Например, $\frac{1}{f(1,s)}=\prod (\frac{1}{1- p^{-s} }) = \zeta(s)$. Я дошел до такого представления:
$f(x,s)=1+\sum_{k \in M}( (-1)^{\tau(k)}\frac{x^{s\tau(k)}}{k^s})$, где $k$ пробегает некое множество $M$, содержащее те натуральные числа, в каноническом представлении которых, степень вхождения любого простого не превосходит единицы. Другими словами, это множество всевозможных комбинаций из простых, взятых только один раз. А $\tau(k)$ - количество простых делителей $k$. Хотелось бы какое то обобщение, или красивое представление.
Так же мне нужна помощь с функцией по-проще: $g(x)=\prod_{n=2}^{\infty} (1-\frac{x}{n^2})$. Необходимо тоже самое - представить в более явном виде.
Заранее спасибо!

[Sonic86]

DiMath в сообщении #819660 писал(а):

Так же мне нужна помощь с функцией по-проще: $g(x)=\prod_{n=2}^{\infty} (1-\frac{x}{n^2})$. Необходимо тоже самое - представить в более явном виде.

Используйте произведение Эйлера для синуса. Оно есть тут

DiMath в сообщении #819660 писал(а):

$k$ пробегает некое множество $M$, содержащее те натуральные числа, в каноническом представлении которых, степень вхождения любого простого не превосходит единицы. Другими словами, это множество всевозможных комбинаций из простых, взятых только один раз.

для краткости говорят "$k$ свободно от квадратов"

DiMath в сообщении #819660 писал(а):

Дана непрерывная функция $f(x,s)=\prod (1- \frac{x^s}{p^s}) $, где $p$ пробегает все простые числа.
Задача представить эту функцию через дзета-функцию Римана или близкую к этому виду. ... Я дошел до такого представления:
$f(x,s)=1+\sum_{k \in M}( (-1)^{\tau(k)}\frac{x^{s\tau(k)}}{k^s})$, где $k$ пробегает некое множество $M$,

А, ну это Вы просто в лоб перемножили.
Можно, по аналогии с переходом от $\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}$ к $\zeta(s)=\prod\limits_{p}\left(1-\frac{1}{p^s}\right)^{-1}$, получить формулу
$f(x,s)^{-1}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{s\Omega (n)}}{n^s}$, где $\Omega(n)=\sum\limits_{p:p^k\mid n}1$. Но тоже толку мало.

[DiMath]

Sonic86 Спасибо Вам за ответ. Получилось $g(x)=\frac{sin(\pi \sqrt{x})}{\pi \sqrt{x}}$. Это очень помогло.
А вот с первой функцией я так и не разобрался. Мне нужно получить такой вид, чтобы легко было взять производную или интеграл, и при этом оценить корни полученной функции. Ничего нельзя сделать?

[Sonic86]

DiMath в сообщении #819906 писал(а):

Мне нужно получить такой вид, чтобы легко было взять производную или интеграл

Ну в виде ряда производную и интеграл брать легко. Можно просто произведение прологарифмировать и брать производную.

DiMath в сообщении #819906 писал(а):

и при этом оценить корни полученной функции

Хы! А для какой функции это легко сделать?

DiMath в сообщении #819906 писал(а):

Ничего нельзя сделать?

Не знаю я не спец.

[DiMath]

Понял. Может тогда Вы еще подскажите, как определить нули такой суммы $\sum\limits_{p}(\frac{2x}{p^2-x^2})$ ?
Есть ли они при $x>0$ ? Если есть, то возможно ли как то дать асимптотику их распределения?
Спасибо.

[Sonic86]

DiMath в сообщении #819927 писал(а):

Понял. Может тогда Вы еще подскажите, как определить нули такой суммы $\sum\limits_{p}(\frac{2x}{p^2-x^2})$ ?
Есть ли они при $x>0$ ? Если есть, то возможно ли как то дать асимптотику их распределения?

Разложение котангенса в ряд по полюсам видели? График строить пробовали?

[DiMath]

Sonic86 Разложение в ряд конечно видел, но не знаю, как построить график
А имеет ли такое "уравнение" решение?

$$\sum\limite_{p} (\frac{1}{p^2-x^2}) = \frac{\pi\sqrt x*ctg(\pi\sqrt x)-1}{4x^2}$$