Одна ль ты на свете? Одна ль ты такая?

[Ktina]

Единственна ли функция $ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $, удовлетворяющая при любых $x, y\in\mathbb R$ функциональному уравнению

$$f(x-y)=f(x)-f(y)+3xy^2-3x^2y\quad\text{?}$$

[provincialka]

Замена $f(x)=g(x)+x^3$ приводит уравнение к виду $g(x-y)=g(x)-g(y)$, равносильному уравнению $g(x+y)=g(x)+g(y)$. Это хорошо изученное функциональное уравнение Коши. Так что решение единственно с дополнительным условием непрерывности хотя бы в одной точке.

[Ktina]

provincialka
Спасибо!

[provincialka]

Я немного ошиблась: решение не единственно даже при доп. условиях на непрерывность. Есть целое семейство решений вида $f(x)=x^3+cx$. Впрочем, по ссылке все объяснено.

[Ktina]

provincialka
Всё равно спасибо!