Доска на верстаке.

[nikvic]

По следам "летящей нити" post819290.html?hilit=#p819290 и объяснения эффекта http://phys.org/news/2014-01-chain-foun ... video.html .
==============
Доска массы M лежит на верстаке, и один её конец выходит за край верстака.
Снизу в этот конец попадает пуля и пробивает доску, теряя импульс J.

Какова начальная скорость центра масс доски после такого взаимодействия?

[Oleg Zubelevich]

задача на банальное расписывание уравнений теории удара

[Oleg Zubelevich]

И так, однородная доска длины $2l$ массы $m$ лежит на столе. Вертикально снизу вверх доску пробивает пуля (см. пунктир). Удар происходит на расстоянии $b$ от центра доски $S$. Известен момент инерции $J$ доски относительно оси проходящей через точку $S$ перпендикулярно рисунку. При ударе пуля теряет импульс равный по модулю $p$.
Найти движение доски сразу после удара. Стол, на всякий случай, считаем гладким

Решение. Вводим стандартную декартову систему координат: ось $x$ -- горизонтально вправо, ось $y$ вертикально вверх.

Пишем уравнения теории удара.

1 случай. В точке $A$ действует ударная реакция $\overline N=N\overline e_y,\quad N>0$.

$$J\omega=bp-lN,\quad mv_x=0,\quad mv_y=N+p,\quad v_y=l\omega$$

$v_x,v_y$ -- компоненты скорости центра масс $S$.

Получаем:

$$N=\frac{p(mlb-J)}{J+ml^2},\quad \omega=\frac{p(b+l)}{J+ml^2},\quad v_y=\frac{lp(b+l)}{J+ml^2}$$

Эти формулы верны при условии $N>0$ т.е. $mlb-J>0$.

2 случай. В точке $A$ ударной реакции нет. ($J>mlb$)

$$J\omega=bp,\quad mv_x=0,\quad mv_y=p$$

[nikvic]

Ну, вот, моя ёлочка расцвечена игрушками

Для доски и пули в самый конец ответ больше, чем для "бруска" в полтора раза - из-за реакции верстака на другом конце доски. Это увеличение тем больше, чем меньше радиус инерции по сравнению с длиной.