Движение велосипеда

[KiberMath]

По какой траектории движутся колеса велосипеда, если известны все размеры велосипеда, его скорость, и угол поворода колеса относительно велосипеда.




У велосипеда заденее колесо косаеться земли в точке А, переднее в точке В. Руль повернут относительно направления k на угол $\alpha$ (рисунок ниже)

елси велосипед проедет время t cо скоростью v, то его заднее колесо окажеться в точке A_1 а переднее в B_1, причем проекция вектора BB_1 на ось k равна v \cdot t = AA_1

из треугольника ВСВ_1 получаю, что BB_1=\frac{CB}{sin(\alpha-\pi)}

елси велосипедист так и дальше будет двигаться (поворачивая руль на уголь альфа и проезжая то же самое время t) то его переднее колесо будет двигаться по правильному многоугольнику со стороной равной $\frac{vt}{sin(\alpha-\pi)}$, углы которого равны
углу альфа плюс угол BB_1A, т.е. $arcsin(\frac{A_1B \cdot sin(\alpha)}{A_1B_1})+ \alpha$ и сторон у которого $\frac{2 \cdot \pi}{\pi -(\alpha + \beta)}$

\beta здесь это $arcsin(\frac{A_1B \cdot sin(\alpha)}{A_1B_1})$

если t \to 0, то этот самы многоугольник должен превращаться в окружность (велосипедист держет руль под углом альфа к велосипеду всю дорогу )
Но у меня что-то не сходиться...
у меня получаеться, что елси уменьшать t, то уменьшаеться сторона многоугольника, но количество сторон от этого не прибавляеться
В чем нестыковка?

[Freude]

Думаю, что точка А1 не лежит на прямой К. С чего бы ей там быть. Заднее колесо "подтягивается" за передним по кратчайшему пути, т.е. проводим линию из точки В1 в точку А (где и был велосипед) и откладываем на этой прямой отрезок - длину велосипеда (расстояние между точками соприкосновения колес с землей - оно надеюсь не меняется при повороте руля ), один из концов отрезока должен лежать в точке В1.

[KiberMath]

Freude
Мда. точно. Велосипед, он не резиновый.
Пойду дамать что теперь получиться, с учетом того, что заднее колесо будет лежать на прямой AB_1

[KiberMath]

Что-то у меня не получаеться, что заднее колесо лежит на прямой AB_1 елси переднее движеться в направлении l...
Оно движеться как-то более сложно... но как?

Ведь если представить, что переднее колесо проехало сначала не весь путь от B до B_1, а только половину ( до точки Ц, назавем ее так), а потом из этой точки Ц продолжило путь до B_1. То заднее колесо проехало некоторый путь по прямой от точки А до точки Ц (по прямой АЦ) и остановилось в точке К, а потом из точки К поехало в сторону B_1, по прямой KB_1... и не оказалось лежать на прямой AB_1

Хочу знать как движеться заднее колесо, если переднее движеться по прямой L и составляет с задним угол альфа

[Александр Т.]

KiberMath писал(а):

По какой траектории движутся колеса велосипеда, если известны все размеры велосипеда, его скорость, и угол поворода колеса относительно велосипеда.

У велосипеда заденее колесо косаеться земли в точке А, переднее в точке В. Руль повернут относительно направления k на угол $\alpha$

Точки касания колес велосипеда образуют концентрические окружности с радиусами $|AB|\ctg(\pi-\alpha)$ (заднее колесо) и $|AB|/\sin(\pi-\alpha)$ (переднее колесо). Центр окружностей находится на линии, перпендикулярной прямой $(AB)$ и проходящей через точку $A$.

KiberMath писал(а):

Хочу знать как движеться заднее колесо, если переднее движеться по прямой L и составляет с задним угол альфа

Если переднее колесо составляет некоторый угол с задним, то оно не может "двигаться по прямой" (т.е. множество его точек касания с землей не является прямой), см. выше.

[KiberMath]

Александр Т.

Цитата:

KiberMath писал(а):
Хочу знать как движеться заднее колесо, если переднее движеться по прямой L и составляет с задним угол альфа

Я тут имел в виду, что в начальный момент времени угол между колесом и велосипедом равен альфа, ну а когда переднее колесо движеться по прямой этот угол естественно меняеться...

расскажите пожалуйста по подробнее как вот это вот

Александр Т. писал(а):

Точки касания колес велосипеда образуют концентрические окружности с радиусами $|AB|\ctg(\pi-\alpha)$ (заднее колесо) и $|AB|/\sin(\pi-\alpha)$ (переднее колесо). Центр окружностей находится на линии, перпендикулярной прямой $(AB)$ и проходящей через точку $A$.

было выведено.
Заранее спасибо

[Zai]

KiberMath писал(а):

По какой траектории движутся колеса велосипеда

Почитайте модель колеса в книге Келдыша М.В. (Избранные труды: Механика)
Траектория заднего колеса зависит от констант качения задней шины велосипеда.

[Александр Т.]

KiberMath писал(а):

расскажите пожалуйста по подробнее как вот это вот

Александр Т. писал(а):

Точки касания колес велосипеда образуют концентрические окружности с радиусами $|AB|\ctg(\pi-\alpha)$ (заднее колесо) и $|AB|/\sin(\pi-\alpha)$ (переднее колесо). Центр окружностей находится на линии, перпендикулярной прямой $(AB)$ и проходящей через точку $A$.

было выведено.
Заранее спасибо

С точки зрения математики буду выражаться нестрого, т.к., думаю, что в этом случае объяснение получится понятнее.

Предполагается, что колеса двигаются по линиям, к которым они образуют касательные. Линия, по которой движется переднее колесо в общем случае не совпадает с линией, по которой движется заднее колесо. Отсюда следует, что если угол поворота руля ($\pi-\alpha$ на Вашем рисунке) не меняется и не равен нулю, то эти линии - концентрические окружности. Чтобы найти центр и радиусы этих окружностей, проведите на своем рисунке перпендикуляры к прямой $k$ через точку $A$ и к прямой $l$ через точку $B$. Точка пересечения этих перпендикуляров $O$ и будет центром этих окружностей, а соответственно отрезки $[OA]$ и $[OB]$ будут их радиусами. Думаю, что длины отрезков $[OA]$ и $[OB]$ Вы сможете вычислить сами.

KiberMath писал(а):

Цитата:

KiberMath писал(а):
Хочу знать как движеться заднее колесо, если переднее движеться по прямой L и составляет с задним угол альфа

Я тут имел в виду, что в начальный момент времени угол между колесом и велосипедом равен альфа, ну а когда переднее колесо движеться по прямой этот угол естественно меняеться...

В свете вышеизложенных предположений о движении колес, если в начальный момент времени угол $\alpha$ не равен $\pi, то переднее колесо нельзя заставить двигаться по прямой $l$ (не вынудив заднее колесо двигаться с трением перпендикулярно самому себе). Если постараться, то, предоставив рулю свободно поворачиваться, можно заставить переднее колесо двигаться по прямой $k$ (вместе с задним колесом). При этом в начальный момент времени руль мгновенно повернется так, что угол $\alpha$ станет равен $\pi.