Интеграл с помощью вычетов

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Есть такая задачка: вычислить контурный интеграл от функции комплексной переменной с помощью вычетов

$$\int\limits_{C}^{} \frac{\sin(\pi z)}{(z^2-1)^2} dz, C: |z-1|=\frac{1}{2}$$

Имеется две особые точки: $z=\pm1$, обе точки - простые полюсы, в области лежит только точка $z=1$.

$$\mathop\mathrm{res}\limits_{z=1} f(z) = \lim\limits_{z \to 1}\left ( \frac{\sin(\pi z)}{(z^2-1)^2} \cdot (z-1) \right ) = \lim\limits_{z \to 1}\left ( \frac{\sin(\pi z)}{(z+1)^2 (z-1)} \right ) = \frac{1}{4} \lim\limits_{z \to 1}\left ( \frac{\sin(\pi z)}{(z-1)} \right ) =$$

$$= \frac{1}{4} \lim\limits_{z \to 1}\left ( \frac{\pi \cos(\pi z)}{1} \right ) = - \frac{\pi}{4}$$

И тогда интеграл будет равен

$$2 \pi i \left ( - \frac{\pi}{4} \right ) = - \frac{\pi^2 i }{2}$$

Подскажите, пожалуйста, верно ли мое решение?

В учебнике нашел подобный пример

$$\int\limits_{C}^{} \frac{\sin(\pi z)}{(z^2-1)^3} dz, C: \frac{x^2}{4}+y^2=1$$

В данном примере вычеты в точках $z=\pm1$ будут $\frac{3 \pi}{16}$, и обе точки лежат в области, но в ответах пишут, что этот интеграл равен нулю, почему?

Заранее спасибо за помощь!

[Dan B-Yallay]

Limit79 в сообщении #819205 писал(а):

Есть такая задачка: вычислить контурный интеграл от функции комплексной переменной с помощью вычетов

$$\int\limits_{C}^{} \frac{\sin(\pi z)}{(z^2-1)^2} dz, C: |z-1|=\frac{1}{2}$$

Имеется две особые точки: $z=\pm1$, обе точки - простые полюсы, в области лежит только точка $z=1$.

$$\mathop\mathrm{res}\limits_{z=1} f(z) = \lim\limits_{z \to 1}\left ( \frac{\sin(\pi z)}{(z^2-1)^2} \cdot (z-1) \right ) = \lim\limits_{z \to 1}\left ( \frac{\sin(\pi z)}{(z+1)^2 (z-1)} \right ) = \frac{1}{4} \lim\limits_{z \to 1}\left ( \frac{\sin(\pi z)}{(z-1)} \right ) =$$

$$= \frac{1}{4} \lim\limits_{z \to 1}\left ( \frac{\pi \cos(\pi z)}{1} \right ) = - \frac{\pi}{4}$$

Вроде полюс второго порядка, а вычет ищете как первого.

[Limit79]

Dan B-Yallay в сообщении #819209 писал(а):

Вроде полюс второго порядка, а вычет ищете как первого.

$z=1$ -- корень числителя кратности $1$, и корень знаменателя кратности $2$, то есть полюс $2-1=1$ порядка - простой полюс. Или я где-то не прав?

[Dan B-Yallay]

Limit79 в сообщении #819210 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #819209 писал(а):

Вроде полюс второго порядка, а вычет ищете как первого.

$z=1$ -- корень числителя кратности $1$, и корень знаменателя кратности $2$, то есть полюс $2-1=1$ порядка - простой полюс. Или я где-то не прав?

Ох, точно.

[Limit79]

Dan B-Yallay в сообщении #819211 писал(а):

Ох, точно.

Я, правда, не уверен

-- 26.01.2014, 07:52 --

Вольфрам-альфа пишет что обе точки -- простые полюсы, и вычеты с моими совпадают...

Тогда не могу понять в чем ошибка

[Dan B-Yallay]

А там оба вычета одного знака?

[Limit79]

Dan B-Yallay

Это Вы про пример из учебника? Там оба с плюсом.

[Dan B-Yallay]

Да, я про пример. Уже сам проверил там же, на Вольфраме.

[Limit79]

Пример из Краснов М.Л. Киселев А.И. Макаренко Г.И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.: Наука, 1971

[Dan B-Yallay]

Чтот я туплю или спать пора. Последний раз с ТФКП я сталкивался тут же на форуме лет 5 назад.
В общем по определению вычета в полюсе порядка $n$

$\displaystyle\mathrm{Res}(f,c) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to c} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left( (z-c)^{n}f(z) \right). $
$n=2$

\dfrac d {dz}\left(\dfrac{\sin(\pi z)(z-1)^2}{(z^2-1)^3}\right)$

$ \displaystyle\frac{2\,\left( z-1\right) \,\mathrm{sin}\left( \pi\,z\right) }{{\left( {z}^{2}-1\right) }^{3}}-\frac{6\,{\left( z-1\right) }^{2}\,z\,\mathrm{sin}\left( \pi\,z\right) }{{\left( {z}^{2}-1\right) }^{4}}+\frac{\pi\,{\left( z-1\right) }^{2}\,\mathrm{cos}\left( \pi\,z\right) }{{\left( {z}^{2}-1\right) }^{3}}$

Или я производную не так беру, но вычет какой-то кривой получается.

[Limit79]

Dan B-Yallay
Полюс же первого порядка.

[Dan B-Yallay]

Я все еще про пример. Хожу понять, почему ответ не совпадает.
В вашей задаче вроде все правильно.

[Limit79]

Dan B-Yallay
Из примера у меня получились оба вычета $\frac{3 \pi}{16}$, с вольфрамом совпадает.

[Dan B-Yallay]

Понятно. У нас производные совпадают?

[Limit79]

Dan B-Yallay
Я в маткаде считал