Лемма о конечном покрытии (прицип Бореля - Лебега)

[SpBTimes]

Не может, конечно. Каждый интервал имеет ненулевую длину.

[bendr]

SpBTimes в сообщении #818822 писал(а):

Не может, конечно. Каждый интервал имеет ненулевую длину.

Ненулевую, но т.к. система интервалов, покрывающая отрезок бесконечна, то длина интервала может быть сколь угодно мала. Раз так, то номер k, упоминаемый здесь:
"Тогда все отрезки последовательности $[a_k, b_k]$ , начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом $\sigma$ , что противоречит самому выбору этих отрезков",
может быть сколь угодно большим. Т.е. можно бесконечно делить отрезки пополам, так никогда и не достигая этого номера k. Разве не так?

[provincialka]

При неограниченном делении на 2 длина отрезков будет стремиться к 0. Поэтому на каком-то шаге непременно станет меньше радиуса окрестности. Ведь окрестность-то не меняется.

[bendr]

Хорошо, но тогда если переписать эту лемму не для системы интервалов, а для системы отрезков:
"Из всякой бесконечной системы отрезков, покрывающей отрезок числовой прямой, можно выбрать конечную подсистему, также покрывающую этот отрезок."
и применить эту-же логику (под окрестностью в данном случае понимается не интервал, а отрезок):

Цитата:

При неограниченном делении на 2 длина отрезков будет стремиться к 0. Поэтому на каком-то шаге непременно станет меньше радиуса окрестности. Ведь окрестность-то не меняется.

то доказательство опять верно, а этого быть не может. В чём тут ошибка?

[Nemiroff]

bendr в сообщении #818904 писал(а):

доказательство опять верно

Как вы получаете, что доказательство верно? У интервала есть свойство: если точка принадлежит интервалу, то и некоторая её окрестность принадлежит.

bendr в сообщении #818904 писал(а):

под окрестностью в данном случае понимается не интервал, а отрезок

Давайте без самодеятельности.

[bendr]

Nemiroff писал(а):

Как вы получаете, что доказательство верно?

При неограниченном делении на 2 длина отрезков будет стремиться к 0. Поэтому на каком-то шаге непременно станет меньше или равна длине отрезка из системы, содержащего в себе точку, к которой стягиваются отрезки. Ведь длина этого отрезка не меняется.

Так понятнее?

[Nemiroff]

bendr в сообщении #818909 писал(а):

Поэтому на каком-то шаге непременно станет меньше или равна длине отрезка из системы, содержащего в себе точку, к которой стягиваются отрезки.

Это неправда. И тут уже приводили пример. Когда ограничение отрезка на множество --- это просто точка.

-- Сб янв 25, 2014 02:39:37 --

Вот смотрите, русская Википедия, первое доказательство. Всё хорошо до фразы "Тогда все отрезки последовательности $[a_k, b_k]$, начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом $\sigma$, что противоречит самому выбору этих отрезков."

[bendr]

Ну как-же, длина отрезка из системы не меняется, значит имеет конечное значение. Значит на каком-то шаге деления на 2 длина отрезков станет меньше этого значения.

[Nemiroff]

bendr в сообщении #818912 писал(а):

Ну как-же, длина отрезка из системы не меняется, значит имеет конечное значение.

Во-первых, длина отрезка может быть нулевой. Во-вторых, даже если и нет, из этого ничего не следует. В-третьих, прочтите тему, ну контрпример же дали.

[bendr]

Так я знаю, что это неверно. Я спрашиваю где ошибка в доказательстве.

[Nemiroff]

bendr в сообщении #818915 писал(а):

Я спрашиваю где ошибка в доказательстве.

Я ж написал.

Nemiroff в сообщении #818911 писал(а):

Вот смотрите, русская Википедия, первое доказательство. Всё хорошо до фразы "Тогда все отрезки последовательности $[a_k, b_k]$, начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом $\sigma$, что противоречит самому выбору этих отрезков."

Это неверно для отрезков.

[bendr]

В том и вопрос, почему это верно для интервалов и неверно для отрезков.

[Nemiroff]

bendr в сообщении #818919 писал(а):

В том и вопрос, почему это верно для интервалов и неверно для отрезков.

Nemiroff в сообщении #818907 писал(а):

У интервала есть свойство: если точка принадлежит интервалу, то и некоторая её окрестность принадлежит.

А у отрезка нет.

-- Сб янв 25, 2014 02:54:11 --

Давайте сначала:

bendr в сообщении #818919 писал(а):

почему это верно для интервалов и неверно для отрезков

Почему вот это: "Тогда все отрезки последовательности $[a_k, b_k]$, начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом $\sigma$, что противоречит самому выбору этих отрезков," --- верно для интервалов?

[bendr]

Ну хорошо, убедили. Если точка к которой стягиваются отрезки последовательности $[a_k, b_k]$, находится на границе отрезка $\sigma$, то они никогда не будут им покрыты. Так?

[Nemiroff]

bendr в сообщении #818923 писал(а):

Так?

К примеру так. Уже достаточно для того, чтобы доказательство не работало.