Доказать, что функция имеет производные любого порядка

[sssrdivinity]

Дана функция
$ \varphi(x;a)= \begin{cases} e^{- \frac {a^2} {a^2-x^2}},&\text{при |$x|<a$,}\\ 0 &\text{при |$x| \geq a$.} \end{cases} $
Нужно доказать, что она имеет производные любого порядка

[ИСН]

Мамой клянусь, имеет!

[sssrdivinity]

ИСН
Я понимаю, что можно клясться мамой) Какие шаги нужно провести, чтобы это доказать? Производные 1-го и 2-го порядков можно взять....

[ИСН]

Ну точно так же и любого порядка можно взять. Что могло бы этому помешать? Формулы сломаются? Откуда-то вылезет функция, которой нет в таблице производных?

[sssrdivinity]

Вот про то и речь. От меня добиваются того, чтобы я показал, что существуют производные любого порядка.
Функция была дана для примера, на самом деле она - обобщенная. Вот меня и просят показать, что это так. А по определению обобщенной функции она должна иметь производные любого порядка.

[mihailm]

Начните считать уже эти производные (например пока до 3 порядка), начинайте

[sssrdivinity]

Первая $ \frac {2ax^2 e ^{- \frac {a^2} {a^2-x^2}}} {{(a^2-x^2)}^2} $
Вторая $ \frac {2a^2 e ^{- \frac {a^2} {a^2-x^2}}(a^4-3x^4)} {{(a^2-x^2)}^4} $
Я так понимаю, что там какая-то проблема с проверкой точек на границах

[mihailm]

результат оформите так - отдельно экспонента и перед ней множитель

[sssrdivinity]

Т.е. получится произведение экспоненты на многочлен, многочлен растет на каждом этапе дифференцирования. Что с этим можно сделать далее?..

[svv]

Ну, не совсем на многочлен, там же ещё знаменатель. Производная $n$-го порядка равна
$\dfrac{p_n(x)}{(a^2-x^2)^{2n}}e^{-\frac{a^2}{a^2-x^2}}$
Здесь $p_n(x)$ многочлен(ы). Для них можно вывести рекуррентную формулу.
Чему равен предел этого при $|x|=a$?

[sssrdivinity]

Ну если я правильно посчитал, то при
$x \rightarrow {-a-0}$
$x \rightarrow {-a+0}$
$x \rightarrow {a-0}$
$x \rightarrow {a+0}$
пределы равны $\infty$
Правильно, что это точки разрыва второго рода? Если так, то что дальше?.. Я сомневаюсь, что понял, как все посчитать

[svv]

Нет, посчитайте правильно, и это кардинально изменит ситуацию. Скорее всего, даже не будете спрашивать, что делать дальше.

Намек: экспонента сильнее полинома.