2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Проверить сходимость последовательности в пространстве C
Сообщение24.01.2014, 15:27 
Аватара пользователя
Условие задачи следующее:
Сходится ли в $C[0, 1]$ последовательность $x_n (t) = t^n - t^{2n}$ ?

По определению сходимости последовательности:
$ \forall \varepsilon > 0 \ \ \ \exists n_0 \in \mathbb N \ \forall n > n_0 \ \forall p \in \mathbb N \ \ \ \rho (x_n, x_{n + p}) = \max|x_n(t) - x_{n+p}(t)| < \varepsilon $

Насколько я понимаю, дальше я каким-то образом должен оценить $ \max|x_n(t) - x_{n+p}(t)| $ сверху, и вот тут у меня возникает вопрос: как это правильно сделать?
Легко увидеть, что при $t = 0$ и $t = 1$, $x_n(t) = 0$. Очевидно, что $x_n(t) \in [0,1]$ при $t \in [0,1]$. (очевидно ли? необходимо доказательство данного утверждения?)
Достаточно ли этого для оценки? Могу ли я оценить $ \max|x_n(t) - x_{n+p}(t)| < 1 $?

 
 
 
 Re: Проверить сходимость последовательности в пространстве C
Сообщение24.01.2014, 15:52 
Аватара пользователя
Можно исследовать последовательность $f_n(t)=t^{n}-t^{2n}$ на отрезке $[0;1]$ на равномерную сходимость. Если сходится, то ответ на вопрос задачи положительный

 
 
 
 Re: Проверить сходимость последовательности в пространстве C
Сообщение24.01.2014, 16:09 
Аватара пользователя
cool.phenon в сообщении #818693 писал(а):
Можно исследовать последовательность $f_n(t)=t^{n}-t^{2n}$ на отрезке $[0;1]$ на равномерную сходимость. Если сходится, то ответ на вопрос задачи положительный


Спасибо. Попробую.

 
 
 
 Re: Проверить сходимость последовательности в пространстве C
Сообщение24.01.2014, 20:00 
Ваш вопрос
titovroman в сообщении #818675 писал(а):
Сходится ли в $C[0, 1]$ последовательность $x_n (t) = t^n - t^{2n}$ ?
был бы осмысленным, если бы Вы написали, какая подразумевается сходимость. По равномерной норме? Поточечно? Почти всюду?

 
 
 
 Re: Проверить сходимость последовательности в пространстве C
Сообщение24.01.2014, 20:07 
Аватара пользователя
Ну, в $C$, наверное по умолчанию считается равномерная сходимость.

 
 
 
 Re: Проверить сходимость последовательности в пространстве C
Сообщение24.01.2014, 21:09 
полезно найти максимумы\миниумы функций

 
 
 
 Re: Проверить сходимость последовательности в пространстве C
Сообщение24.01.2014, 21:11 
Аватара пользователя
Достаточно последовательности $x_n  = 1 - \frac{1}{n}$

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group