Проверить сходимость последовательности в пространстве C

[titovroman]

Условие задачи следующее:
Сходится ли в $C[0, 1]$ последовательность $x_n (t) = t^n - t^{2n}$ ?

По определению сходимости последовательности:
$ \forall \varepsilon > 0 \ \ \ \exists n_0 \in \mathbb N \ \forall n > n_0 \ \forall p \in \mathbb N \ \ \ \rho (x_n, x_{n + p}) = \max|x_n(t) - x_{n+p}(t)| < \varepsilon $

Насколько я понимаю, дальше я каким-то образом должен оценить $ \max|x_n(t) - x_{n+p}(t)| $ сверху, и вот тут у меня возникает вопрос: как это правильно сделать?
Легко увидеть, что при $t = 0$ и $t = 1$, $x_n(t) = 0$. Очевидно, что $x_n(t) \in [0,1]$ при $t \in [0,1]$. (очевидно ли? необходимо доказательство данного утверждения?)
Достаточно ли этого для оценки? Могу ли я оценить $ \max|x_n(t) - x_{n+p}(t)| < 1 $?

[cool.phenon]

Можно исследовать последовательность $f_n(t)=t^{n}-t^{2n}$ на отрезке $[0;1]$ на равномерную сходимость. Если сходится, то ответ на вопрос задачи положительный

[titovroman]

cool.phenon в сообщении #818693 писал(а):

Можно исследовать последовательность $f_n(t)=t^{n}-t^{2n}$ на отрезке $[0;1]$ на равномерную сходимость. Если сходится, то ответ на вопрос задачи положительный

Спасибо. Попробую.

[patzer2097]

Ваш вопрос

titovroman в сообщении #818675 писал(а):

Сходится ли в $C[0, 1]$ последовательность $x_n (t) = t^n - t^{2n}$ ?

был бы осмысленным, если бы Вы написали, какая подразумевается сходимость. По равномерной норме? Поточечно? Почти всюду?

[provincialka]

Ну, в $C$, наверное по умолчанию считается равномерная сходимость.

[Oleg Zubelevich]

полезно найти максимумы\миниумы функций

[SpBTimes]

Достаточно последовательности $x_n = 1 - \frac{1}{n}$