Положительно определённый оператор - опреление

[vedro-compota]

Доброго времени стуток, уважаемые математики)
Прошу подсказать какое определение положительно определённого оператора (ещё его называют равномерно положительным) верно -
такое:
$\Large A (x, x) \geq C^2(x, x), \;\;\forall x \in dom\,A,\;\; C > 0,\;\; A \subset A^*$
или же такое
$\Large (Ax, x) \geq C^2(x, x), \;\;\forall x \in dom\,A,\;\; C > 0,\;\; A \subset A^*$
судя по всему верно второе (так в учебниках)...или же это одно и тоже?

Заранее благодарю за ответ.)

[ИСН]

А какой смысл могла бы иметь первая запись, например?

[provincialka]

vedro-compota в сообщении #817885 писал(а):

или же это одно и тоже?

Нет, не одно и то же. Посмотрите, в какому типу относятся все указанные объекты. Что такое $x$? Что такое $(x,x)$? Что такое $A$?

[vedro-compota]

$A$ - это оператор (вроде как здесь "опрерирует" функциями). $x$ -функция судя по всему
$(x, x)$ - это скалярное произведение - этакая абстракция, которая подчиняется ряду свойств ))) например:
$(x, x) \geq 0; (x, x) = 0 => x = 0$

Скалярное произведение - это отображение в числовое пространство: $E \times E -> R$
получается, что первая запись вообще смысла не имеет....

[ИСН]

Отож

[vedro-compota]

ИСН , как я понимаю вы знаете правильно определение положительно определённого оператора - скажите пожалуйста - верно ли второе выражение - где $(Ax, x)$ ?

[ИСН]

Определений много разных. А у Вас я не все остальные буковки понимаю. Скажем, зачем вот это $C^2$? что значит $A^*$?

[vedro-compota]

$C^2$ - ну это положительная консанта в квадрате, а звездочка - знак сопряжённости...вообще последнее - $A \subset A^*$ - наверное, лишее

[ИСН]

А зачем эта положительная константа - в квадрате? Что это нам даёт?

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

vedro-compota в сообщении #817914 писал(а):

$C^2$ - ну это положительная консанта в квадрате

Это чтоб с гарантией?

[vedro-compota]

в определении так.

[Dan B-Yallay]

Что означает $A \subset A^*$?
Оператор есть подмножество ему сопряженного?

[vedro-compota]

ммм.. насколько я знаю так может записываться (может записываться) "расширение" оператора (вложенность область действий - и на вложенной области их действие одинаково) - но (повторюсь) - здесь наверное это вовсе не нужно (просто почему-то в лекции рядом было записано данное условие)

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #818048 писал(а):

Оператор есть подмножество ему сопряженного?

Это в точности означает симметричность. Но это избыточно: из неотрицательности (и, следовательно, вещественности) квадратичной формы симметричность уже следует.

С точностью до одного нюанса, конечно. Симметричный оператор обязан быть ещё и плотно определён; но это подразумевается уже самим упоминанием сопряжённого оператора. Так что с этой точки зрения формулировка разумна, хоть и вычурна.

-- Ср янв 22, 2014 23:23:15 --

А, да, по теме:

vedro-compota в сообщении #817885 писал(а):

такое:
$\Large A (x, x) \geq C^2(x, x), \;\;\forall x \in dom\,A,\;\; C > 0,\;\; A \subset A^*$
или же такое
$\Large (Ax, x) \geq C^2(x, x), \;\;\forall x \in dom\,A,\;\; C > 0,\;\; A \subset A^*$

Судя по всему, первый вариант -- это просто жаргонное обозначение для квадратичной формы, выписанной открытым текстом во втором варианте. Ну да, такое вроде иногда встречается; красиво жить не запретишь.

[vedro-compota]

ewert, абсолютно все ваши замечания как-раз таки абсолюлтно "по теме".....спасибо.
Често говоря, я поражён вашей осведомлённостью))
Действительно - обозначения в лекции как-то плавают, например, записано, что неотрицательный оператор это:
$(Ax, x) \geq 0$
а уже на следующей строке, для положительного:
$A(x, x) > 0$
--------
Правильно ли я понимаю, что определение положительного вообще можно записать так:
$(Ax, x) > 0$