Голоморфная функция

[Foxer]

Голоморфная функция — функция комплексного переменного, определённая на открытом подмножестве комплексной плоскости $\mathbb{C}$ и комплексно дифференцируемая в каждой точке.

В википедии написано, что "в отличие от вещественного случая, это условие означает, что функция бесконечно дифференцируема и может быть представлена сходящимся к ней рядом Тейлора".

Вопрос, откуда следует бесконечно дифференцируемость?

[mihailm]

Если по википедии учить то ниоткуда.
Например из эквивалентности такого определения голоморфной функции и представимости в виде степенного ряда

[patzer2097]

mihailm в сообщении #817692 писал(а):

Если по википедии учить то ниоткуда.

Недооцениваете Вы этот ресурс

[Foxer]

mihailm в сообщении #817692 писал(а):

Если по википедии учить то ниоткуда.
Например из эквивалентности такого определения голоморфной функции и представимости в виде степенного ряда

Я учу мехматянский курс у себя на факультете, но просто интересно стало википедию полистать. Нашел данное утверждение, но доказать не смог.

Да, из вашего утверждения все бы следовало, только оно отнюдь не очевидно.

[provincialka]

Foxer в сообщении #817690 писал(а):

Вопрос, откуда следует бесконечно дифференцируемость?

Знаете, в этих комплексных числах все смешалось. Синусы с шинусами, экспоненты с периодическими функциями. Вот и бесконечную дифференцируемость доказывают через интегральную формулу Коши.

[Foxer]

patzer2097 в сообщении #817696 писал(а):

mihailm в сообщении #817692 писал(а):

Если по википедии учить то ниоткуда.

Недооцениваете Вы этот ресурс

Давайте аккуратно посмотрим. Та ссылка, что вы кинули, ссылается на интегральную формулу Коши. Интегральная формула Коши доказывается с помощью интегральной теоремы Коши. А та в свою очередь ссылается на то, что функция должна удовлетворять условию Коши-Римана, а для этого, как мне кажется, нужна хотя бы дважды дифференцируемость, которой, к сожалению, в определении голоморфности я не наблюдаю.

-- 22.01.2014, 00:19 --

provincialka в сообщении #817700 писал(а):

Foxer в сообщении #817690 писал(а):

Вопрос, откуда следует бесконечно дифференцируемость?

Знаете, в этих комплексных числах все смешалось. Синусы с шинусами, экспоненты с периодическими функциями. Вот и бесконечную дифференцируемость доказывают через интегральную формулу Коши.

То что все смешалось, я уж понял. Для этого вам и пишу, чтобы размешали.

[patzer2097]

Foxer в сообщении #817702 писал(а):

функция должна удовлетворять условию Коши-Римана, а для этого, как мне кажется, нужна хотя бы дважды дифференцируемость

Условия Коши-Римана - это эквивалентное определение голоморфности (непрерывной и имеющей частные производные по вещественному и мнимому аргументу) функции И потому следуют из ее голоморфности.

[provincialka]

Foxer, где вы видели вторые производные (тем более, второй дифференциал) в условиях Коши-Римана?

[Foxer]

provincialka в сообщении #817706 писал(а):

Foxer, где вы видели вторые производные (тем более, второй дифференциал) в условиях Коши-Римана?

Я имел ввиду, что не само условие содержит вторые дифференциалы, а когда доказывают эквивалентность голоморфности, то дважды дифференцируют. Хотя нет, на википедии написано, что можно обойтись и без этого, там напрямую показано. Все, теперь вроде бы разобрался, спасибо!