Предел отношения выпуклой функции

[danildushistov]

Здравствуйте!

Пусть функция выпукла на полуоси $(a,+\infty) \subset \mathbb{R}$. Нужно доказать, что тогда существует конечный или бесконечный предел $\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}$.

Геометрически это можно изобразить так: выпуклая функция представляет собой либо прямую линию, которая может быть как угодно повернута в плоскости $xOy$ (а если параллельна оси абсцисс, то это константа), либо некоторую линию с единственной точкой минимума. Представим себе, как могут вести себя ее ветви при стремлении $x$ к $+\infty$. Если функция имеет степень больше единицы, то ветви возрастают быстрее значения $x$ на оси абсцисс - тогда предел будет равен бесконечности, если же нет, то предел будет равен некоторому числу. Если же функция возрастает медленнее, чем увеличивается значение $x$ на оси абсцисс, то тогда предел данного отношения будет равен нулю.

Но как перевести эти "пространные" рассуждения в строгую математическую форму?

[Otta]

(Оффтоп)

Мы сегодня курсовую пишем или семестровую?

Сами-то что пробовали делать, кроме пространных рассуждений?
Вы предыдущие Ваши темы вполне уже закрыли для себя и поняли предложенные там решения, чтобы задавать новый вопрос, решение которого часто основано на тех же приемах?

[Vince Diesel]

Это не рассуждения, а перечисление вариантов. Оформлять пока нечего.

[ewert]

danildushistov в сообщении #816543 писал(а):

Пусть функция выпукла на полуоси $(a,+\infty) \subset \mathbb{R}$. Нужно доказать, что тогда существует конечный или бесконечный предел $\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}$.

Очевидно, достаточно рассмотреть случай $f(0)=0$. Тогда картинка подсказывает, что отношение $\frac{f(x)}x$ откровенно возрастает. Обоснуйте это формально, используя результат задачи [url]dxdy.ru/topic80453.html[/url]

[Otta]

ewert

(Оффтоп)

Нельзя человека так быстро кормить, он явно не успевает проглатывать.