Функциональное уравнение

[ARMORIOS]

Добрый день всем! Есть такое интересное уравнение:

$f(xy) = xf(x+y) + (y-x)f(x)$

Но я никак не знаю как к нему подступиться или хотя бы проверить его разрешимость? В классических вариантах решения функциональных уравнений никакого способа найти не получилось.

[SpBTimes]

А функция-то какая по условию?

[Otta]

Берем $y=0$. Смотрим. Берем еще чего-нибудь... а ну как сами додумаетесь? ))

[ARMORIOS]

SpBTimes в сообщении #816539 писал(а):

А функция-то какая по условию?

По определению функция над полем вещественных чисел:
$f(x): R \to R$

Otta в сообщении #816540 писал(а):

Берем $y=0$. Смотрим. Берем еще чего-нибудь... а ну как сами додумаетесь? ))

Если взять условие $y = 0$, тогда функции тождественно обращаются в ноль. И по сути это не дает никакого важного решения. Поясню задачу, в том смысле что интересно наличие решений, когда $f(x)$ не равна тождественно нулю.

P.S. Вы меня поправляйте, если я не достаточно ясно высказываю свою мысль. Я новенький на математическом форуме, поэтому возможно упускаю какие-то детали из виду. Спасибо!

[provincialka]

А куда делось условие? Картинка, что ли была? Вот что значит нарушать правила...

[Otta]

ARMORIOS в сообщении #816545 писал(а):

Если взять условие $y = 0$, тогда функции тождественно обращаются в ноль.

Поподробнее, пожалуйста.

-- 19.01.2014, 17:45 --

provincialka
Все на месте.

[ARMORIOS]

provincialka в сообщении #816546 писал(а):

А куда делось условие? Картинка, что ли была? Вот что значит нарушать правила...

Нет никакой картинки все в TeX оформлено:

ARMORIOS в сообщении #816538 писал(а):

Добрый день всем! Есть такое интересное уравнение:

$f(xy) = xf(x+y) + (y-x)f(x)$

Но я никак не знаю как к нему подступиться или хотя бы проверить его разрешимость? В классических вариантах решения функциональных уравнений никакого способа найти не получилось.

Otta в сообщении #816547 писал(а):

ARMORIOS в сообщении #816545 писал(а):

Если взять условие $y = 0$, тогда функции тождественно обращаются в ноль.

Поподробнее, пожалуйста.

$f(0 \cdot x) = xf(x + 0) + (0 - x)f(x) = 0$ что верно для любого $x$. Или вы что-то другое имеете в виду?

[Otta]

Значит, еще подробнее.
Что-конкретно-Вы в этой строчке получили.

[provincialka]

provincialka в сообщении #816546 писал(а):

А куда делось условие? Картинка, что ли была? Вот что значит нарушать правила...

Нет, это какой-то временный баг, в других темах тоже не отображалось.
ARMORIOS, такие уравнения решаются "методом верчения в руках". Например, подставить конкретное значение переменной. Или взять $y=x$. Или, например, $y=-x, y=2x$ и тому подобное. Может, чего и увидите.

ARMORIOS в сообщении #816552 писал(а):

$f(0 \cdot x) = xf(x + 0) + (0 - x)f(x) = 0$ что верно для любого $x$. Или вы что-то другое имеете в виду?

Интересно, а $0\cdot x$ чему равно?

[arseniiv]

ARMORIOS в сообщении #816545 писал(а):

По определению функция над полем вещественных чисел:
$f(x): R \to R$

И, наверно, непрерывная? Или всё же любая? Это важно.

[Otta]

arseniiv, да вроде тут неважно.

[ARMORIOS]

Otta в сообщении #816554 писал(а):

Значит, еще подробнее.
Что-конкретно-Вы в этой строчке получили.

Я получил $f(0) = 0 $.

provincialka в сообщении #816557 писал(а):

ARMORIOS, такие уравнения решаются "методом верчения в руках". Например, подставить конкретное значение переменной. Или взять $y=x$. Или, например, $y=-x, y=2x$ и тому подобное. Может, чего и увидите.

Подставив $y=x$ мы получим $f(x^2) = 2xf(x)$. Так что не сложно догадаться о смысле этого уравнения. Но интересно наличие решения в элементарных функциях.

provincialka в сообщении #816557 писал(а):

Интересно, а $0\cdot x$ чему равно?

$ 0 \dotc x = 0$

arseniiv в сообщении #816558 писал(а):

И, наверно, непрерывная? Или всё же любая? Это важно.

Да непрерывная.

[Otta]

ARMORIOS в сообщении #816563 писал(а):

Подставив $y=x$ мы получим $f(x^2) = 2xf(x)$. Так что не сложно догадаться о смысле этого уравнения.

Ну не знаю. Вроде и решить несложно. Вы что попроще подставьте.

[ARMORIOS]

Otta в сообщении #816567 писал(а):

Ну не знаю. Вроде и решить несложно. Вы что попроще подставьте.

Это будет частное решение, и оно не будет выполнятся для любого $y$.

По сути это уравнение получилось из двух уравнений:

$f(xy) = xf(y) + yf(x) (1) $
$f(x+y) = f(y) + f(x) (2) $

Каждое из этих уравнений имеет свое решение $ (1) f(x)= Cxlog(x), (2) f(x) = Cx$

И мне было интересно найти функцию у которой бы соблюдались оба этих свойства.

[provincialka]

Ну, решением системы будет пересечение множеств решений каждого уравнения.