2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Функциональное уравнение
Сообщение19.01.2014, 14:19 
Добрый день всем! Есть такое интересное уравнение:

$f(xy) = xf(x+y) + (y-x)f(x)$

Но я никак не знаю как к нему подступиться или хотя бы проверить его разрешимость? В классических вариантах решения функциональных уравнений никакого способа найти не получилось.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение19.01.2014, 14:25 
Аватара пользователя
А функция-то какая по условию?

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение19.01.2014, 14:29 
Берем $y=0$. Смотрим. Берем еще чего-нибудь... а ну как сами додумаетесь? ))

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение19.01.2014, 14:41 
SpBTimes в сообщении #816539 писал(а):
А функция-то какая по условию?


По определению функция над полем вещественных чисел:
$f(x): R \to R$

Otta в сообщении #816540 писал(а):
Берем $y=0$. Смотрим. Берем еще чего-нибудь... а ну как сами додумаетесь? ))


Если взять условие $y = 0$, тогда функции тождественно обращаются в ноль. И по сути это не дает никакого важного решения. Поясню задачу, в том смысле что интересно наличие решений, когда $f(x)$ не равна тождественно нулю.

P.S. Вы меня поправляйте, если я не достаточно ясно высказываю свою мысль. Я новенький на математическом форуме, поэтому возможно упускаю какие-то детали из виду. Спасибо!

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение19.01.2014, 14:43 
Аватара пользователя
А куда делось условие? Картинка, что ли была? Вот что значит нарушать правила...

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение19.01.2014, 14:44 
ARMORIOS в сообщении #816545 писал(а):
Если взять условие $y = 0$, тогда функции тождественно обращаются в ноль.

Поподробнее, пожалуйста.

-- 19.01.2014, 17:45 --

provincialka
Все на месте.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение19.01.2014, 14:50 
provincialka в сообщении #816546 писал(а):
А куда делось условие? Картинка, что ли была? Вот что значит нарушать правила...


Нет никакой картинки все в TeX оформлено:

ARMORIOS в сообщении #816538 писал(а):
Добрый день всем! Есть такое интересное уравнение:

$f(xy) = xf(x+y) + (y-x)f(x)$

Но я никак не знаю как к нему подступиться или хотя бы проверить его разрешимость? В классических вариантах решения функциональных уравнений никакого способа найти не получилось.


Otta в сообщении #816547 писал(а):
ARMORIOS в сообщении #816545 писал(а):
Если взять условие $y = 0$, тогда функции тождественно обращаются в ноль.

Поподробнее, пожалуйста.


$f(0 \cdot x) = xf(x + 0) + (0 - x)f(x) = 0$ что верно для любого $x$. Или вы что-то другое имеете в виду?

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение19.01.2014, 14:52 
Значит, еще подробнее. :-(
Что-конкретно-Вы в этой строчке получили.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение19.01.2014, 14:59 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #816546 писал(а):
А куда делось условие? Картинка, что ли была? Вот что значит нарушать правила...
Нет, это какой-то временный баг, в других темах тоже не отображалось.
ARMORIOS, такие уравнения решаются "методом верчения в руках". Например, подставить конкретное значение переменной. Или взять $y=x$. Или, например, $y=-x, y=2x$ и тому подобное. Может, чего и увидите.
ARMORIOS в сообщении #816552 писал(а):
$f(0 \cdot x) = xf(x + 0) + (0 - x)f(x) = 0$ что верно для любого $x$. Или вы что-то другое имеете в виду?

Интересно, а $0\cdot x$ чему равно?

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение19.01.2014, 15:01 
ARMORIOS в сообщении #816545 писал(а):
По определению функция над полем вещественных чисел:
$f(x): R \to R$
И, наверно, непрерывная? Или всё же любая? Это важно.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение19.01.2014, 15:06 
arseniiv, да вроде тут неважно.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение19.01.2014, 15:10 
Otta в сообщении #816554 писал(а):
Значит, еще подробнее. :-(
Что-конкретно-Вы в этой строчке получили.


Я получил $f(0) = 0 $.

provincialka в сообщении #816557 писал(а):
ARMORIOS, такие уравнения решаются "методом верчения в руках". Например, подставить конкретное значение переменной. Или взять $y=x$. Или, например, $y=-x, y=2x$ и тому подобное. Может, чего и увидите.


Подставив $y=x$ мы получим $f(x^2) = 2xf(x)$. Так что не сложно догадаться о смысле этого уравнения. Но интересно наличие решения в элементарных функциях.

provincialka в сообщении #816557 писал(а):
Интересно, а $0\cdot x$ чему равно?

$ 0 \dotc x = 0$

arseniiv в сообщении #816558 писал(а):
И, наверно, непрерывная? Или всё же любая? Это важно.


Да непрерывная.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение19.01.2014, 15:14 
ARMORIOS в сообщении #816563 писал(а):
Подставив $y=x$ мы получим $f(x^2) = 2xf(x)$. Так что не сложно догадаться о смысле этого уравнения.

Ну не знаю. Вроде и решить несложно. Вы что попроще подставьте.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение19.01.2014, 15:24 
Otta в сообщении #816567 писал(а):
Ну не знаю. Вроде и решить несложно. Вы что попроще подставьте.


Это будет частное решение, и оно не будет выполнятся для любого $y$.

По сути это уравнение получилось из двух уравнений:

$f(xy) = xf(y) + yf(x)                    (1) $
$f(x+y) = f(y) + f(x)                     (2) $

Каждое из этих уравнений имеет свое решение $ (1) f(x)= Cxlog(x), (2) f(x) = Cx$

И мне было интересно найти функцию у которой бы соблюдались оба этих свойства.

 
 
 
 Re: Функциональное уравнение
Сообщение19.01.2014, 15:28 
Аватара пользователя
Ну, решением системы будет пересечение множеств решений каждого уравнения.

 
 
 [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group