Эквивалентное определение выпуклости

[danildushistov]

Здравствуйте!

Необходимо доказать, что если функция выпукла на отрезке $[a,b]$ или интервале $(a,b)$, то для нее выполняется следующее неравенство:

$$\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\leqslant \frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}$$

Здесь $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$. При этом доказательство нужно провести, используя лишь определение выпуклости на отрезке (интервале): функция $f(x)$ является выпуклой на $[a,b]$, если $\forall x_1, x_2 \in [a,b] \subset \mathbb{R}, \forall \lambda \in [0,1] : f(\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2) \leqslant \lambda f(x_1)+(1 - \lambda)f(x_2)$.

Геометрически, конечно же, это очевидно: для любых двух хорд, причем вторая начинается в точке, в которой заканчивается первая, угол наклона второй хорды всегда больше или равен углу наклона первой хорды.

Но как доказать это аналитически?

Я пытался преобразовать определение и подставить в него точки $x,x_1$ и $x_2,x$, но у меня не получается избавиться затем от $\lambda$. Пожалуйста, подскажите, что делать!

[ewert]

danildushistov в сообщении #816409 писал(а):

подскажите, что делать!

Просто заменить в доказываемом неравенстве $x$ на $\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2$ и эквивалентными преобразованиями свести это неравенство к определению выпуклости. Это заведомо пройдёт, раз уж эквивалентность геометрически очевидна.

[danildushistov]

ewert в сообщении #816431 писал(а):

Просто заменить в доказываемом неравенстве $x$ на $\lambda x_1 + (1 - \lambda)x_2$ и эквивалентными преобразованиями свести это неравенство к определению выпуклости.

Спасибо огромное, все и правда замечательно получилось! Вот решение:

Исходное неравенство $\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\leqslant \frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}$ домножим на $x-x_1$ и $x_2-x$. Знак неравенства не изменится, так как эти числа больше нуля, так как точка $x$ лежит правее $x_1$, а точка $x_2$ лежит правее $x$. Затем проведем преобразования:

$(f(x)-f(x_1))(x_2-x)\leqslant (f(x_2)-f(x))(x-x_1)$
$f(x)(x_2-x)-f(x_1)(x_2-x)\leqslant f(x_2)(x-x_1)-f(x)(x-x_1)$
$f(x)(x_2-x)+f(x)(x-x_1)\leqslant f(x_1)(x_2-x)+f(x_2)(x-x_1)$
$f(x)(x_2-x+x-x_1)\leqslant f(x_1)(x_2-x)+f(x_2)(x-x_1)$
$f(x)(x_2-x_1)\leqslant f(x_1)(x_2-x)+f(x_2)(x-x_1)$ (1)

Положим теперь $x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$ и подставим его в (1):

$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)(x_2-x_1)\leqslant f(x_1)(x_2-(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2))$ $+f(x_2)(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2-x_1)$
$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)(x_2-x_1)\leqslant f(x_1)(x_2-\lambda x_1-x_2+\lambda x_2)$ $+f(x_2)((\lambda-1) x_1+(1-\lambda)x_2)$
$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)(x_2-x_1)\leqslant f(x_1)(\lambda x_2-\lambda x_1)+f(x_2)(-(1-\lambda) x_1+(1-\lambda)x_2)$
$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)(x_2-x_1)\leqslant \lambda f(x_1)(x_2-x_1)+(1-\lambda)f(x_2)(x_2-x_1)$
$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leqslant \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$ - получили определение выпуклости функции. Задача решена.

Но вот вопрос: мы полагаем, что $x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$, но почему мы так можем сделать? Для меня геометрически и алгебраически это совсем неочевидно...

[Otta]

danildushistov в сообщении #816485 писал(а):

Но вот вопрос: мы полагаем, что $x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$, но почему мы так можем сделать? Для меня геометрически и алгебраически это совсем неочевидно...

Было бы видно, если бы Вы решали в другую сторону.
Но можно и тут: из выражения $x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$ найдите $\lambda$ и $1-\lambda$.

[danildushistov]

Otta в сообщении #816489 писал(а):

Но можно и тут: из выражения $x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$ найдите $\lambda$ и $1-\lambda$.

Хорошо. Пусть:

$x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$ $\Leftrightarrow$ $x=\lambda x_1+x_2-\lambda x_2$ $\Leftrightarrow$ $\lambda (x_1-x_2)+x_2-x=0$ $\Leftrightarrow$ $\lambda= \frac{x-x_2}{x_1-x_2}$

Тогда:

$-\lambda= \frac{x_2-x}{x_1-x_2}$ $\Leftrightarrow$ $1-\lambda= \frac{x_1-x_2}{x_1-x_2}+\frac{x_2-x}{x_1-x_2}$ $\Leftrightarrow$ $1-\lambda= \frac{x_1-x_2+x_2-x}{x_1-x_2}$ $\Leftrightarrow$ $1-\lambda= \frac{x_1-x}{x_1-x_2}$

Таким образом, $\lambda= \frac{x-x_2}{x_1-x_2}$, $1-\lambda= \frac{x_1-x}{x_1-x_2}$.

Правда, я снова не понимаю, что это дает. :)

[Otta]

Алгебраически это дает возможность представить как $x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$ при любом разумном наборе иксов, разве нет?

Геометрически - посмотрите на геометрический смысл этих Ваших отношений и осознайте.

[ewert]

danildushistov в сообщении #816509 писал(а):

Таким образом, $\lambda= \frac{x-x_2}{x_1-x_2}$, $1-\lambda= \frac{x_1-x}{x_1-x_2}$.

Правда, я снова не понимаю, что это дает. :)

Например, то, что если Вы теперь обе части неравенства для наклонов умножите на $(x_1-x_2)$, то в знаменателях только лямбды и останутся.

[danildushistov]

Да, вижу сейчас, что ерунду вчера написал. Еще и условие задачи неправильно переписал. Теперь напишу решение нормально.

Пусть $f(x)$ - непрерывная на отрезке $[a,b] \subset \mathbb{R}$ функция. Доказать, что если $\forall x_1, x_2 \in [a,b], x_1 < x_2, \forall x \in [x_1,x_2]: \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\leqslant \frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}$, то $f(x)$ - выпукла на $[a,b]$.

Исходное неравенство $\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\leqslant \frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}$ домножим на $x-x_1$ и $x_2-x$. Знак неравенства не изменится, так как эти числа больше нуля, так как точка $x$ лежит правее $x_1$, а точка $x_2$ лежит правее $x$. Затем проведем преобразования, не теряя смысла определения:

$\forall x_1, x_2 \in [a,b], x_1 < x_2, \forall x \in [x_1,x_2]:$ $(f(x)-f(x_1))(x_2-x)\leqslant (f(x_2)-f(x))(x-x_1)$
$\forall x_1, x_2 \in [a,b], x_1 < x_2, \forall x \in [x_1,x_2]:$ $f(x)(x_2-x)-f(x_1)(x_2-x)\leqslant f(x_2)(x-x_1)-f(x)(x-x_1)$
$\forall x_1, x_2 \in [a,b], x_1 < x_2, \forall x \in [x_1,x_2]:$ $f(x)(x_2-x)+f(x)(x-x_1)\leqslant f(x_1)(x_2-x)+f(x_2)(x-x_1)$
$\forall x_1, x_2 \in [a,b], x_1 < x_2, \forall x \in [x_1,x_2]:$ $f(x)(x_2-x+x-x_1)\leqslant f(x_1)(x_2-x)+f(x_2)(x-x_1)$
$\forall x_1, x_2 \in [a,b], x_1 < x_2, \forall x \in [x_1,x_2]:$ $f(x)(x_2-x_1)\leqslant f(x_1)(x_2-x)+f(x_2)(x-x_1)$ (1)

Положим теперь $x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$. Очевидно, что $\forall \lambda \in [0,1]: x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2 \Rightarrow x \in [x_1,x_2]$, так как это выражение есть выпуклая комбинация двух точек $x_1$ и $x_2$ на числовой прямой. То есть, условие $\forall x \in [x_1,x_2]$ эквивалентно условию $\forall \lambda \in [0,1], x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$. Подставим теперь $x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$ в (1):

$\forall x_1, x_2 \in [a,b], x_1 < x_2, \forall \lambda \in [0,1]:$ $f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)(x_2-x_1)\leqslant f(x_1)(x_2-(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2))$ $+f(x_2)(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2-x_1)$
$\forall x_1, x_2 \in [a,b], x_1 < x_2, \forall \lambda \in [0,1]:$ $f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)(x_2-x_1)\leqslant f(x_1)(x_2-\lambda x_1-x_2+\lambda x_2)$ $+f(x_2)((\lambda-1) x_1+(1-\lambda)x_2)$
$\forall x_1, x_2 \in [a,b], x_1 < x_2, \forall \lambda \in [0,1]:$ $f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)(x_2-x_1)\leqslant f(x_1)(\lambda x_2-\lambda x_1)+f(x_2)(-(1-\lambda) x_1+(1-\lambda)x_2)$
$\forall x_1, x_2 \in [a,b], x_1 < x_2, \forall \lambda \in [0,1]:$ $f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)(x_2-x_1)\leqslant \lambda f(x_1)(x_2-x_1)+(1-\lambda)f(x_2)(x_2-x_1)$
$\forall x_1, x_2 \in [a,b], x_1 < x_2, \forall \lambda \in [0,1]:$ $f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leqslant \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$ - получили определение выпуклости функции.

Задача решена.

[ewert]

Трудно сказать, решена или нет, т.к. это какое-то безумие. На самом деле попросту если $x\in(x_1;x_2)$ или, что эквивалентно, $x=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$, где $\lambda=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}\in(0;1)$ и $1-\lambda=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$, то

$\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\leqslant \frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}\ \Leftrightarrow\ \frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1}\cdot(x_2-x_1)\leqslant \frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}\cdot(x_2-x_1)\ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\ \frac{f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)-f(x_1)}{1-\lambda}\leqslant \frac{f(x_2)-f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)}{\lambda}\ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\ \lambda f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)-\lambda f(x_1)\leqslant (1-\lambda)f(x_2)-(1-\lambda)f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\ \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\ f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leqslant\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2).$