Матричный базис, коммутативность...

[студент]

Нужно доказать что во множестве квадратных матриц порядка $n$ не существует такой базис из числа матриц $n\times n$, в котором матрицы коммутативны относительно умножения.Вопрос вот в чем:Если матрицы коммутативны относительно умножения то обязательно ли они линейно зависимы? Спасибо.

[Руст]

В первом уточните, что значит базис матриц.
Второе неверно, простейший контрпример строится когда произведение равно 0.
На самом деле для любой матрицы А получаем, что А*B=B*А, если B=A*A и они как правило линейно независимы (за исключением случая скалярной матрицы и случая, когда B=0).

[Zai]

Если одна из матриц имеет ненулевой детерминант, возможен второй не упомянутый Вами случай. Перемножте одну из обратных матриц(если она существует, скажем первую) на Ваше равенство и Вы увидите, что вторая матрица равна второй же при преобразовании координат с помощью первой матрицы, что предположительно говорит о ее единичности.

[Lion]

Пройдет ли такое рассуждение:
если базис пространства матриц коммутативен относительно умножения, то тогда и само пространство матриц коммутативно, что неверно.
Или слово "базис" здесь понимается в каком-то другом смысле?

[студент]

Спасибо всем тем кто откликнулся.Уточняю постановку задачи.Нужно показать что в любом базисе пространства квадратных матриц n - го порядка если взять любые два базисных элемента(две базисные матрицы)то они не будут коммутативны относительно умножения.Но обратное неверно!Моя проблема в том что в стандартном матричном базисе две матрицы ВСЕГДА коммутативны ибо их произведением является нулевая матрица.Значит речь идет о ненулевом произведении и вот тут - тупик! Помогите!!!

[bot]

студент писал(а):

Моя проблема в том что в стандартном матричном базисе две матрицы ВСЕГДА коммутативны ибо их произведением является нулевая матрица

Если бы это было так, то произведение любых матриц было бы нулевым. К счастью это не так:
при $k\ne i$ имеем $E_{ij}\cdot E_{jk} = E_{ik} \ne 0 = E_{jk}\cdot E_{ij}$

и $E_{ij}\cdot E_{ji} = E_{ii} \ne E_{jj} = E_{ji} \cdot E_{ij}$ при $i\ne j$

[TOTAL]

студент писал(а):

Нужно доказать что во множестве квадратных матриц порядка n не существует такой базис из числа матриц nxn,в котором матрицы коммутативны относительно умножения.

Если бы существовал базис из попарно коммутативных матриц, то вообще не существовало бы некоммутативных матриц.

[студент]

TOTAL писал(а):

студент писал(а):

Нужно доказать что во множестве квадратных матриц порядка n не существует такой базис из числа матриц nxn,в котором матрицы коммутативны относительно умножения.

Если бы существовал базис из попарно коммутативных матриц, то вообще не существовало бы некоммутативных матриц.

То есть расписываем любую матрицу по базису и потом перемножаем две матрицы,используя коммутативность базисных матриц попарно.Если умножение в поле коммутативно то ПРОИЗВОЛЬНЫЕ две матрицы всегда коммутативны?
TOTAL! Большое Вам спасибо!Все гениальное - просто!Еще раз - тысяча благодарностей!

[TOTAL]

студент писал(а):

TOTAL! Большое Вам спасибо!

Хорошо, что Вы невнимательно прочитали то, что сказал Lion.
(Благодарность досталась бы ему )

[студент]

Lion,извините что невнимательно прочитал Вашу подсказку.Большое Вам спасибо!

[bot]

На Lionа я и намекал - ну не в ту степь автор пошёл:

bot писал(а):

Если бы это было так, то произведение любых матриц было бы ...

Вместо точек ясно, что надо подставить.
А TOTAL открытым текстом вернул всё к Lionу.