работа момента сил

[Oleg Zubelevich]

Свяжем с тведым телом репер $O\xi\eta\zeta$ (репер, как говорят, вморожен в твердое тело). Соответствующие углы Эйлера относительно некоторой неподвижной системы координат как обычно обозначим через $\psi, \varphi, \theta$.
Твердое тело движется таким образом, что углы Эйлера изменяются по известному закону
$\psi=\psi(t),\quad \varphi=\varphi(t),\quad \theta=\theta(t)$.
К твердорму телу приложен момент сил $\overline M_O=\overline M_O(t)$, компоненты которого заданы в системе $O\xi\eta\zeta$. (Кроме данного момента к телу, возможно, приложены другие какие-то силы, которые вместе с моментом обеспечивают указанное движение)

Найти работу момента $\overline M_O$ при движении тела на интервале времени $[t_1,t_2]$.

Задача помещена в дискуссионный раздел, поскольку нет полной уверенности в том, что данный вопрос сводится к стандартным определениям. Возможно, тут математическую формализацию надо выдумывать одновременно с решением.

[VladimirKalitvianski]

Я, конечно, не специалист, но не будет ли это разница кинетических энергий вращения типа $I\omega(t)^2 /2$?

[Oleg Zubelevich]

у меня получается, что результат не зависит от $I$

[VladimirKalitvianski]

Oleg Zubelevich в сообщении #815902 писал(а):

у меня получается, что результат не зависит от $I$

Плохо. Надо дать правильное определение кинетической энергии вращающегося тела через компоненты угловой скорости и взять разницу. Момент инерции может быть не скаляром, а тензором для произвольного тела. Посмотрите Ландау-Лифшица, первый том.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #815856 писал(а):

Найти работу момента $\overline M_O$ при движении тела на интервале времени $[t_1,t_2]$.

Малая работа очевидна:

$$dA=\mathbf{M}\cdot d\pmb{\varphi},$$

где $d\pmb{\varphi}$ - вектор бесконечно малого вращения. А полная, значит, её интеграл:

$$A=\int\limits_{t=t_1}^{t=t_2}\mathbf{M}\cdot d\pmb{\varphi}.$$

Интегрирование производится по пути в группе Ли $SO(3),$ от конкретной системы координат интеграл не зависит. Выражать $d\pmb{\varphi}$ через углы Эйлера - чисто техническая работа, и нет причин, чтобы вид интеграла от этого упростился. Больше никаких проблем я не вижу.

Учёт динамики тела: $d\pmb{\varphi}=\pmb{\omega}\,dt=I^{-1}\mathbf{L}\,dt,$ где $\mathbf{L}(t)$ сам определяется приложенным моментом и пройденным углом: $d\mathbf{L}=\mathbf{M}\,dt.$ Здесь удобно принять неподвижную систему координат (чтобы не учитывать пройденный угол), но тогда $I^{-1}$ будет переменной величиной по времени, из-за поворота осей тела. Впрочем, $I^{-1}$ однозначно определяется углом поворота.

Но поскольку угол поворота от времени считается уже известным, то $I^{-1}$ действительно в ответ не входит.

-- 18.01.2014 02:44:44 --

Oleg Zubelevich в сообщении #815856 писал(а):

Возможно, тут математическую формализацию надо выдумывать одновременно с решением.

Никакой формализации, кроме уже хорошо известной дифференциальной геометрии групп Ли, изобретать не нужно.

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #815942 писал(а):

Но поскольку угол поворота от времени считается уже известным, то $I^{-1}$ действительно в ответ не входит.

Я не слежу за вашими выкладками, но независимость работы от момента инерции как-то странно мною воспринимается. Что ж, все равно что крутить, что тяжелую болванку, что пустоту? Раскрутите шар от нулевой угловой скорости до не нулевой.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #815942 писал(а):

де $d\pmb{\varphi}$ - вектор бесконечно малого вращения. А полная, значит, её интеграл:

$$A=\int\limits_{t=t_1}^{t=t_2}\mathbf{M}\cdot d\pmb{\varphi}.$$

ok
а то, что ниже написано зачем нужно, при том, что известно $\pmb{\varphi}(t),\mathbf{M}(t)$?

Munin в сообщении #815942 писал(а):

Выражать $d\pmb{\varphi}$ через углы Эйлера - чисто техническая работа,

ну значит задача на эту техническую работу, можно переносить в олимпиадный раздел

-- Сб янв 18, 2014 04:10:40 --

Munin в сообщении #815942 писал(а):

чёт динамики тела: $d\pmb{\varphi}=\pmb{\omega}\,dt=I^{-1}\mathbf{L}\,dt,$ где $\mathbf{L}(t)$ сам определяется приложенным моментом и пройденным углом: $d\mathbf{L}=\mathbf{M}\,dt.$

динамику, кстати, учесть невозможно:

Oleg Zubelevich в сообщении #815856 писал(а):

Кроме данного момента к телу, возможно, приложены другие какие-то силы, которые вместе с моментом обеспечивают указанное движение

кроме того, ни где не сказано, что $O$ это неподвижная точка или центр масс

[Munin]

VladimirKalitvianski в сообщении #815957 писал(а):

Я не слежу за вашими выкладками, но независимость работы от момента инерции как-то странно мною воспринимается.

Ну чтобы не заморачивать себя вращениями, возьмите аналогию в обычном движении. Есть точка, причём её траектория движения задана. Известно, какая сила была приложена на каждом участке траектории. Очевидно, работа будет просто $A=\int\mathbf{F}\,d\mathbf{s},$ и масса в её выражение не войдёт. Точка может быть даже не свободной, например, она может быть кончиком рычага машины, который мы рукой двигаем. Какая нам разница, какая у него масса?

-- 18.01.2014 13:48:45 --

Oleg Zubelevich в сообщении #815965 писал(а):

а то, что ниже написано зачем нужно, при том, что известно $\pmb{\varphi}(t),\mathbf{M}(t)$?

Затем, чтобы прояснить момент с независимостью ответа от $I.$

Oleg Zubelevich в сообщении #815965 писал(а):

ну значит задача на эту техническую работу, можно переносить в олимпиадный раздел :D

Да ну, кто вообще $SO(3)$ параметризует углами Эйлера? Это же неудобно. Их парамеризуют матрицами Паули. Эйлер жил в 18 веке, и его координаты устарели.

Oleg Zubelevich в сообщении #815965 писал(а):

динамику, кстати, учесть невозможно

А, ну да, не прочёл этого.

Oleg Zubelevich в сообщении #815965 писал(а):

кроме того, ни где не сказано, что $O$ это неподвижная точка или центр масс

А вот это учесть динамику не помешало бы.

Ну ладно, задача решена, отрясаем мел с рук своих, и идём дальше по своим делам.

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #816048 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #815957 писал(а):

Я не слежу за вашими выкладками, но независимость работы от момента инерции как-то странно мною воспринимается.

Ну чтобы не заморачивать себя вращениями, возьмите аналогию в обычном движении. Есть точка, причём её траектория движения задана. Известно, какая сила была приложена на каждом участке траектории. Очевидно, работа будет просто $A=\int\mathbf{F}\,d\mathbf{s},$ и масса в её выражение не войдёт. Точка может быть даже не свободной, например, она может быть кончиком рычага машины, который мы рукой двигаем. Какая нам разница, какая у него масса?

Вы правы, если выражать работу некоей силы через изменение ее потенциальной энергии, то масса не войдет. Просто я думал о скоростях и впал в заблуждение. Через разницу кинетических энергий выражается полная работа всех сил, а не данной силы.

[Munin]

VladimirKalitvianski в сообщении #816053 писал(а):

Вы правы, если выражать работу некоей силы через изменение ее потенциальной энергии, то масса не войдет.

Даже и без потенциальной энергии не войдёт. Например, работа руки, приложенной к рукоятке, непотенциальна. Или работа силы трения. Но есть сила, есть путь, и больше ничего не надо.

[VladimirKalitvianski]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #816067 писал(а):

Даже и без потенциальной энергии не войдёт. Например, работа руки, приложенной к рукоятке, непотенциальна. Или работа силы трения. Но есть сила, есть путь, и больше ничего не надо.

Разумеется. Про потенциальную энергию я вплел для наглядности.

[Theoristos]

Munin совершенно верно написал.

Дополнительно, я бы представил малую работу в виде $dA=\vec M(t) \cdot \vec \omega(t) dt $, где угловую скорость в связанной системе координат $\vec\omega(t)$ можно выразить через матрицу перехода от связанной к неподвижной с.к. (и её производную). Потом интегрировать.
От $I$ явно не зависит, но от него зависит $\omega(t)$.