Диффур

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые участники форума!

Встретил я такой диффур:

$$(y^2+2y) y'' = (y')^2$$

Понижаю порядок, получаю:

$$(y^2+2y) p' p = p^2$$

$p = 0 $ - решение (для уравнения после замены).

$$(y^2+2y) p' = p$$

$$\int \frac{dp}{p} = \int \frac{dy}{y^2+2y}$$

$$\int \frac{dp}{p} = \int \frac{dy}{(y+1)^2-1}$$

$$\ln|p| = \frac{1}{2} \ln \left | \frac{y}{y+2} \right | + \ln|C_{1}|$$

$$\ln|p| = \ln \left | C_{1} \sqrt{\frac{y}{y+2}} \right |$$

$$p = C_{1} \sqrt{\frac{y}{y+2}} $$

$p=0$ входит в общее решение.

А вот тут начинается самое интересное:

$$y' = C_{1} \sqrt{\frac{y}{y+2}}$$

$$\int \sqrt{\frac{y+2}{y}} dy = C_{1} \int dx$$

$\int \sqrt{\frac{y+2}{y}} dy$ вроде сводится к более простому заменой всего корня на новую переменную, но считать там...

Подскажите, пожалуйста, может я что-то делаю не так?

[SpBTimes]

Считать вовсе не долго.

[Limit79]

SpBTimes
Заменой

$$\frac{y+2}{y} = t^2$$

интеграл сводится к

$$- \int \frac{4t^2 dt}{(t^2-1)^2}$$

который уже долго считается

Или Вы имели ввиду какой-то другой способ?

[Ms-dos4]

Limit79
Это он то долго считается? А по моему ещё как быстро. Разложите на простые дроби да и проинтегрируйте, там вроде просто всё.

[Limit79]

Ms-dos4
Относительно долго
Спасибо, попробую.

[SpBTimes]

Зачем дроби? Один раз по частям, $u = t$

[Someone]

Limit79 в сообщении #815025 писал(а):

$$\ln|p| = \ln \left | C_{1} \sqrt{\frac{y}{y+2}} \right |$$

$$p = C_{1} \sqrt{\frac{y}{y+2}} $$

Вообще-то,

$$\ln|p|=\ln\left|C_1\sqrt{\left|\frac y{y+2}\right|}\right|$$

и

$$p=C_1\sqrt{\left|\frac y{y+2}\right|}$$

(знак $C_1$ считаем совпадающим со знаком $p$). А дальше вычисления разветвляются: для $\frac y{y+2}\geqslant 0$ и $\frac y{y+2}\leqslant 0$.

[Oleg Zubelevich]

мне всегда казалось, что легче запомнить формулу

$$y'=f(x)y\Longrightarrow y(x)=y(x_0)\exp\Big(\int_{x_0}^x f(s)ds\Big)$$

тем более, что эти вычисления с интегрированием разделенных переменных всеравно ничего не доказывают, и дурацкие логарифмы с модулем, которые при этом возникают, совершенно не по делу

[Limit79]

SpBTimes в сообщении #815066 писал(а):

Зачем дроби? Один раз по частям, $u = t$

Спасибо, попробую.

Someone в сообщении #815137 писал(а):

А дальше вычисления разветвляются: для $\frac y{y+2}\geqslant 0$ и $\frac y{y+2}\leqslant 0$.

А каким образом?

[Limit79]

Someone
При $\frac{y}{y+2} \geqslant 0$, то есть при $y \in (-\infty ; -2) \cup [0; + \infty)$ будет $p = C_{1} \sqrt{\frac{y}{y+2}}$

а при $\frac{y}{y+2} < 0$, то есть при $y \in (-2 ; 0) $ будет $p = C_{1} \sqrt{-\frac{y}{y+2}}$ ?

-- 16.01.2014, 19:03 --

И, получается, интеграл уравнения будет зависеть от значения $y$

Оставлю как есть, в общем.

[Limit79]

Нашел подобный пример, там не делят на два решения.

[Someone]

Limit79 в сообщении #815247 писал(а):

Нашел подобный пример, там не делят на два решения.

В первом решении под корнем стоит выражение $\frac y{C_1}$. Здесь мы можем не делить на случаи $y\geqslant 0$ и $y\leqslant 0$, поскольку первый случай получается при $C_1>0$, а второй — при $C_1<0$.
Второе решение просто некорректно, так как потеряны решения, в которых $y<0$.

Не надо брать пример с плохих образцов.

Limit79 в сообщении #815233 писал(а):

Оставлю как есть, в общем.

И потеряете все решения, в которых $-2<y<0$.

Limit79 в сообщении #815233 писал(а):

И, получается, интеграл уравнения будет зависеть от значения $y$

Экая невидаль! Решение вполне может выражаться разными формулами в разных областях.