2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Диффур
Сообщение16.01.2014, 06:43 
Здравствуйте, уважаемые участники форума!

Встретил я такой диффур: $$(y^2+2y) y'' = (y')^2$$

Понижаю порядок, получаю: $$(y^2+2y) p' p = p^2$$

$p = 0 $ - решение (для уравнения после замены).

$$(y^2+2y) p' = p$$

$$\int \frac{dp}{p} = \int \frac{dy}{y^2+2y}$$

$$\int \frac{dp}{p} = \int \frac{dy}{(y+1)^2-1}$$

$$\ln|p| = \frac{1}{2} \ln \left | \frac{y}{y+2} \right | + \ln|C_{1}|$$

$$\ln|p| =  \ln \left | C_{1} \sqrt{\frac{y}{y+2}} \right |$$

$$p =   C_{1} \sqrt{\frac{y}{y+2}} $$

$p=0$ входит в общее решение.

А вот тут начинается самое интересное: $$y' = C_{1} \sqrt{\frac{y}{y+2}}$$

$$\int \sqrt{\frac{y+2}{y}} dy = C_{1} \int  dx$$

$\int \sqrt{\frac{y+2}{y}} dy$ вроде сводится к более простому заменой всего корня на новую переменную, но считать там...

Подскажите, пожалуйста, может я что-то делаю не так?

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.01.2014, 06:44 
Аватара пользователя
Считать вовсе не долго.

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.01.2014, 07:04 
SpBTimes
Заменой $$\frac{y+2}{y} = t^2$$
интеграл сводится к $$- \int \frac{4t^2 dt}{(t^2-1)^2}$$

который уже долго считается :|

Или Вы имели ввиду какой-то другой способ?

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.01.2014, 07:08 
Limit79
Это он то долго считается? А по моему ещё как быстро. Разложите на простые дроби да и проинтегрируйте, там вроде просто всё.

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.01.2014, 07:12 
Ms-dos4
Относительно долго :-)
Спасибо, попробую.

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.01.2014, 09:58 
Аватара пользователя
Зачем дроби? Один раз по частям, $u = t$

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.01.2014, 13:28 
Аватара пользователя
Limit79 в сообщении #815025 писал(а):
$$\ln|p| =  \ln \left | C_{1} \sqrt{\frac{y}{y+2}} \right |$$

$$p =   C_{1} \sqrt{\frac{y}{y+2}} $$
Вообще-то, $$\ln|p|=\ln\left|C_1\sqrt{\left|\frac y{y+2}\right|}\right|$$ и $$p=C_1\sqrt{\left|\frac y{y+2}\right|}$$ (знак $C_1$ считаем совпадающим со знаком $p$). А дальше вычисления разветвляются: для $\frac y{y+2}\geqslant 0$ и $\frac y{y+2}\leqslant 0$.

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.01.2014, 13:32 
мне всегда казалось, что легче запомнить формулу
$$y'=f(x)y\Longrightarrow y(x)=y(x_0)\exp\Big(\int_{x_0}^x f(s)ds\Big)$$
тем более, что эти вычисления с интегрированием разделенных переменных всеравно ничего не доказывают, и дурацкие логарифмы с модулем, которые при этом возникают, совершенно не по делу

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.01.2014, 15:39 
SpBTimes в сообщении #815066 писал(а):
Зачем дроби? Один раз по частям, $u = t$

Спасибо, попробую.

Someone в сообщении #815137 писал(а):
А дальше вычисления разветвляются: для $\frac y{y+2}\geqslant 0$ и $\frac y{y+2}\leqslant 0$.

А каким образом?

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.01.2014, 17:21 
Someone
При $\frac{y}{y+2} \geqslant 0$, то есть при $y \in (-\infty ; -2) \cup [0; + \infty)$ будет $p = C_{1} \sqrt{\frac{y}{y+2}}$

а при $\frac{y}{y+2} < 0$, то есть при $y \in (-2 ; 0) $ будет $p = C_{1} \sqrt{-\frac{y}{y+2}}$ ?

-- 16.01.2014, 19:03 --

И, получается, интеграл уравнения будет зависеть от значения $y$ :shock:

Оставлю как есть, в общем.

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.01.2014, 18:24 
Нашел подобный пример, там не делят на два решения.

 
 
 
 Re: Диффур
Сообщение16.01.2014, 21:45 
Аватара пользователя
Limit79 в сообщении #815247 писал(а):
Нашел подобный пример, там не делят на два решения.
В первом решении под корнем стоит выражение $\frac y{C_1}$. Здесь мы можем не делить на случаи $y\geqslant 0$ и $y\leqslant 0$, поскольку первый случай получается при $C_1>0$, а второй — при $C_1<0$.
Второе решение просто некорректно, так как потеряны решения, в которых $y<0$.

Не надо брать пример с плохих образцов.

Limit79 в сообщении #815233 писал(а):
Оставлю как есть, в общем.
И потеряете все решения, в которых $-2<y<0$.

Limit79 в сообщении #815233 писал(а):
И, получается, интеграл уравнения будет зависеть от значения $y$ :shock:
Экая невидаль! Решение вполне может выражаться разными формулами в разных областях.

 
 
 [ Сообщений: 12 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group