Страх перед нулём и единицей

[arseniiv]

patzer2097 в сообщении #814453 писал(а):

это Вы сами придумали? мне особенно понравилось про мультимножества

Ничего, что это как бы фольклор?

Спору нет, можно обойтись без множеств и без мультимножеств, и для обозначений бесконечных сумм это тоже не подойдёт — надо расширять. Но вы лучше скажите, что именно вам не нравится. Если вы не понимаете, зачем там мультимножества, я, вроде бы, уже сказал — если есть такие индексы $i\ne j$, что $a_i = a_j$, переводить запись $\bigoplus_{i\in I} a_i$ с использованием множеств не получится, потому что потеряется информация о кратности $a_i$.

Что касается «общепринятых обозначений», то (1) они специфические для конкретных областей и (2) я там не нашёл определения $\sum_i$. Если у вас есть правильное, то приведите же его скорее!

-- Ср янв 15, 2014 20:12:45 --

patzer2097 в сообщении #814453 писал(а):

ну я в первом сообщении написал, что записи типа $\sum_\varnothing\mathrm{something}=0$ вполне общеприняты

И что левая часть такой записи означает?

-- Ср янв 15, 2014 20:17:56 --

Хотя можно её понимать как $\sum_{t\in\varnothing} \mathrm{something}$, где $t$ не входит в $\mathrm{something}$ — но откуда такой терм вообще мог прийти? В каком выводе он может встретиться, нужный именно без переменной? Это вопросы риторические; скорее всего, вы напутали с записью.

[patzer2097]

(arseniiv)

arseniiv в сообщении #814705 писал(а):

Но вы лучше скажите, что именно вам не нравится. Если вы не понимаете, зачем там мультимножества

я Вас понял, и по-моему, у Вас все правильно. но я говорю о том, что Ваша нотация не является общепринятой и если в каком-то источнике она используется (что не факт), то она должна вводиться заранее. Но есть ли в ней какой-то особый смысл по сравнению с обычной суммой? не уверен..

arseniiv в сообщении #814705 писал(а):

Хотя можно её понимать как $\sum_{t\in\varnothing} \mathrm{something}$, где $t$ не входит в $\mathrm{something}$

конечно, я это и имел в виду, только выражение $\mathrm{something}$, конечно, может и зависеть от $t$

arseniiv в сообщении #814705 писал(а):

В каком выводе он может встретиться <...> Это вопросы риторические

я согласен, что этот вопрос не самый важный, но все-таки.. вот рассмотрим систему в линейном пространстве, состоящую только из нулевого вектора. Она линейно зависима? Да. А чтобы это можно было утверждать, есть два варианта:
(1) всюду оговаривать случай такой системы отдельно;
(2) согласиться, что нулевой вектор равен сумме пустого множества векторов.
И я не видел, чтобы кто-нибудь шел по пути (1). Впрочем, все это, видимо, неважно; вряд ли выбор между (1) и (2) как-то влияет на грамотность изложения.

В конце концов, главный критерий адекватности тех или иных значков, как мне кажется, - это понятность текста для остальных математиков..

[arseniiv]

patzer2097 в сообщении #814728 писал(а):

но я говорю о том, что Ваша нотация не является общепринятой и если в каком-то источнике она используется (что не факт), то она должна вводиться заранее. Но есть ли в ней какой-то особый смысл по сравнению с обычной суммой? не уверен..

«Моя» нотация не менее общепринята, чем «ваше» распространение операций $A^2\to A$ на $(2^A)^2\to 2^A$ и $(2^A)\times A\to 2^A$ (последний случай типа $+$ как прибавления вектора к линейному многообразию с получением линейного многообразия). И она в случае $+$ и $\sum$ и есть обычная сумма. Ну, кроме бесконечных рядов. Наверно, можно дообобщаться до включения и их, но вряд ли это стоит делать здесь.

Особый смысл? Не знаю, может, вы ещё и $\bigcup A$ не видели?

patzer2097 в сообщении #814728 писал(а):

конечно, я это и имел в виду, только выражение $\mathrm{something}$, конечно, может и зависеть от $t$

Тогда в силе замечание Xaositect:

Xaositect в сообщении #814504 писал(а):

Множество можно опустить, а вот индекс опускать нехорошо - свободные и связанные переменные путаются.

[patzer2097]

arseniiv в сообщении #814761 писал(а):

«Моя» нотация не менее общепринята, чем «ваше» распространение

вот "Вашу нотацию" Вы придумали, видимо, сами. А я писал об обозначении $A+B=\{a+b\left|\right.a\in A, b\in B\}$, которое называется суммой Минковского уже лет 100. Ну если это Вы называете "они в равной степени общеприняты", то пожалуйста..

arseniiv в сообщении #814761 писал(а):

Тогда в силе замечание Xaositect:

Xaositect в сообщении #814504 писал(а):

Множество можно опустить, а вот индекс опускать нехорошо - свободные и связанные переменные путаются.

ну я же ответил, что индекс и множество могут быть ясны из контекста.. неужели есть разные способы понять, например, запись $\sum_\mathbb{N}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi}{6}$?

[arseniiv]

patzer2097 в сообщении #814776 писал(а):

вот "Вашу нотацию" Вы придумали, видимо, сами.

arseniiv в сообщении #814761 писал(а):

может, вы ещё и $\bigcup A$ не видели?

patzer2097 в сообщении #814776 писал(а):

неужели есть разные способы понять, например, запись $\sum_\mathbb{N}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi}{6}$?

Да, представьте себе, есть. $\sum_{m\in\mathbb N}\frac1{n^2}$ расходится.

И расскажите всё-таки, пожалуйста, как бы вы определили запись $\sum_{i\in I} a_i$. (Ограничим $I$ конечными множествами.) Просто чтобы сравнить, что проще. Полностью, без пропусков.

[patzer2097]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #814784 писал(а):

patzer2097 в сообщении #814776 писал(а):

вот "Вашу нотацию" Вы придумали, видимо, сами.

arseniiv в сообщении #814761 писал(а):

может, вы ещё и $\bigcup A$ не видели?

ну я про

arseniiv в сообщении #814408 писал(а):

$\bigoplus\{a\} = a$ <...>
Так вот не путайте $\oplus$ и $\bigoplus$ (в конкретном случае, $+$ и $\sum$)

пишу. и если Вы говорите, что это общепринято, то приведите пример хотя бы одной работы, где было бы использовано вот это $\sum\{a\} = a$ до Вас...

arseniiv в сообщении #814761 писал(а):

«Моя» нотация не менее общепринята, чем «ваше» распространение операций $A^2\to A$ на $(2^A)^2\to 2^A$ и $(2^A)\times A\to 2^A$ (последний случай типа $+$ как прибавления вектора к линейному многообразию с получением линейного многообразия).

какие еще $(2^A)^2\to 2^A$, какие линейные многообразия?

arseniiv в сообщении #814784 писал(а):

И расскажите всё-таки, пожалуйста, как бы вы определили запись $\sum_{i\in I} a_i$. (Ограничим $I$ конечными множествами.) Просто чтобы сравнить, что проще. Полностью, без пропусков.

я? как сумму всех элементов $a_i$ для которых $i\in I$. А что, у Вас есть альтернативное мнение и на этот счет?

(Оффтоп)

UPD. Или, оставаясь на Вашем уровне подробности (если уж хотите что-то сравнивать), то

$$\sum_{i\in\varnothing}a_i=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mbox{и}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sum_{i\in E\cup\{\psi\}}a_i=a_\psi+\sum_{i\in E}a_i$$

при $\psi\notin E$. Устроит?

[provincialka]

Вроде бы для событий в теории вероятностей часто используется знак $+$ вместо $\cup$. Но, формально говоря, события - не множества. Хотя обычно их рассматривают именно как множества (элементарных исходов).

[--mS--]

provincialka в сообщении #814839 писал(а):

Но, формально говоря, события - не множества.

А что?

[Aritaborian]

--mS-- в сообщении #814888 писал(а):

А что?

+1

[arseniiv]

patzer2097 в сообщении #814798 писал(а):

где было бы использовано вот это $\sum\{a\} = a$

Это не надо использовать, это часть определения.

Ну, возможно, программирование замутило мой разум, или я слишком сильно засмотрелся на $\bigcup A$ — это обозначение действительно распространено (и с пересечением), а моя схема — это просто его обобщение. Где-то я встречал использование таких обозначений, но не помню где точно. Зато можно точно сказать, что $\bigoplus A$
(1) лучше, чем $\bigoplus_{a\in A} a$,
(2) лично для меня выглядит красиво. Определения очищены от всего, от чего можно избавиться, не теряя смысла. Может, кому-то нравится много лишних букв в ненужных местах…

patzer2097 в сообщении #814798 писал(а):

UPD. Или, оставаясь на Вашем уровне подробности (если уж хотите что-то сравнивать), то

$$\sum_{i\in\varnothing}a_i=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mbox{и}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sum_{i\in E\cup\{\psi\}}a_i=a_\psi+\sum_{i\in E}a_i$$

при $\psi\notin E$. Устроит?

Да, спасибо. Именно это и ожидал, но боялся, вдруг всё-таки будет что-то ошеломляющее.

[provincialka]

--mS-- в сообщении #814888 писал(а):

provincialka в сообщении #814839 писал(а):

Но, формально говоря, события - не множества.

А что?

Ну, само по себе. Нечто, для которого можно применять операции и создавать из них новые события. У меня сохранилось смутное воспоминание со студенческих годов. Вроде говорилось, что события это некие абстрактные понятия, которые можно, вообще говоря, интерпретировать как множества исходов. И что во всех конкретных случаях именно такая интерпретация и используется. Я тогда (в юные, наивные годы) очень этому удивилась и поразилась уровнем абстракции (даже не множество!) Но, может, я что-то не поняла.

[Otta]

(Оффтоп)

Берется пространство элементарных исходов. Берется система его подмножеств, образующих сигма-алгебру. Элементы этой системы и есть события. То есть, это именно множества.

[provincialka]

Otta, это я знаю. Знаю, что так можно ввести события. И что именно так обычно и делают. Может, просто, я что-то тогда не поняла по малости лет.

Хотя, с другой стороны, формально мы можем ввести некие сущности, называемые событиями, аксиоматически, с помощью операций, снабженных свойствами. Не предполагая при этом, что они разбиваются на отдельные "точки" (элементарные исходы). Что может этому помешать? Разве что почти полная непригодность такой теории к приложениям.

[--mS--]

"Выглядит как кошка, ходит как кошка и мяукает как кошка, но не кошка"

[arseniiv]

Мм, что-то упоминания категории вероятностных пространств или определения категории — вероятностного пространства не видел, но они наверняка есть.