Доверительный интервал в равномерной модели

[dair]

Для равномерной модели $U(-\theta,0)$ построить доверительный интервал для $\theta$ (на основе центральной статистики).

Не понятно как найти статистику, которая будет центральной?

[--mS--]

Ну попробуйте $\frac{X_{(1)}}{\theta}$, где $X_{(1)}=\min(X_1,\ldots, X_n)$.

[dair]

--mS-- в сообщении #814328 писал(а):

Ну попробуйте $\frac{X_{(1)}}{\theta}$, где $X_{(1)}=\min(X_1,\ldots, X_n)$.

Ну вот вы предложили функцию $G(x,\theta)$
$F_{G}(x)=(x+\theta)/\theta=P_{\theta}\{G$\leqslant$x\}=(P_{\theta}\{x_{1}$\leqslant$\theta x})^n=(F_{\theta}(\theta x))^n$
$F_{G}(\theta x)=(x+1)^n$
а интервалы брать $a_{1}+a_{2}=1-\gamma$ т.е $b_{1}=\sqrt[n]{a_{1}}-1 , b_{2}=\sqrt[n]{(1-a_{2})}$
а если взять $X_{(n)}$ а не $ X_{(1)}$

-- 14.01.2014, 22:40 --

а еще почему ваша функция является центральной?

-- 14.01.2014, 22:43 --

а если центральная то вроде решается
$b_{1}<G(x,\theta)<b_{2}$

Для набора формулы в $\TeX$е достаточно 2 доллара по краям. Нашпиговывать формулы долларами не нужно.

[--mS--]

dair в сообщении #814401 писал(а):

Ну вот вы предложили функцию $G(x,\theta)$
$F_{G}(x)=(x+\theta)/\theta=P_{\theta}\{G$\leqslant$x\}=(P_{\theta}\{x_{1}$\leqslant$\theta x})^n{\color{blue}=}(F_{\theta}(\theta x))^n$
$F_{G}(\theta x)=(x+1)^n$

Ни одного верного равенства кроме синего, да и там со скобками напутано. Попробуйте с самого начала. Раз такие проблемы с минимумом, можно взять в качестве $G$ не $\frac{X_{(1)}}{\theta}$, а $-\frac{X_{(1)}}{\theta}=\frac{\max(-X_1,\ldots, -X_n)}{\theta}$.

[dair]

--mS-- в сообщении #814429 писал(а):

dair в сообщении #814401 писал(а):

Ну вот вы предложили функцию $G(x,\theta)$
$F_{G}(x)=(x+\theta)/\theta=P_{\theta}\{G$\leqslant$x\}=(P_{\theta}\{x_{1}$\leqslant$\theta x})^n{\color{blue}=}(F_{\theta}(\theta x))^n$
$F_{G}(\theta x)=(x+1)^n$

Ни одного верного равенства кроме синего, да и там со скобками напутано. Попробуйте с самого начала. Раз такие проблемы с минимумом, можно взять в качестве $G$ не $\frac{X_{(1)}}{\theta}$, а $-\frac{X_{(1)}}{\theta}=\frac{\max(-X_1,\ldots, -X_n)}{\theta}$.

Брал решение http://teorver-online.narod.ru/teorver57.html
Функция распределения в нашей модели является $F_{\theta}(x)=(x+\theta)/\theta$.
Потом нашли функцию распределения для $G$
Затем все как в решении в ссылке

[--mS--]

dair в сообщении #814439 писал(а):

Функция распределения в нашей модели является $F_{\theta}(x)=(x+\theta)/\theta$.

При всех $x$?

dair в сообщении #814439 писал(а):

Потом нашли функцию распределения для $G$

Не нашли. Ещё раз: в Ваших равенствах нет ни одного верного.

[dair]

Да нет же функция распределения для $U(-\theta,0)$
$F_{\theta}(x)=$\left\{\!\begin{aligned} & 0 ,x<-\theta\\ & (x+\theta)/\theta \ -\theta<x\leqslant0 \\ & 1 ,x>0 \end{aligned}\right.
а потом нашли для G
$F_{G}(x)=$\left\{\!\begin{aligned} & 0 ,x<-1\\ & (x+1)^n \ -1<x\leqslant 0 \\ & 1 ,x>0 \end{aligned}\right.

[--mS--]

И то, и другое - абсурд. Подставьте $x=\theta$ в первую функцию, и $x=1$ во вторую. Ничего не смущает?

[dair]

$F_{G}(x)$ не зависит от $\theta$ поэтому и $G$ центральная. Разве не так?

-- 15.01.2014, 01:56 --

--mS-- в сообщении #814510 писал(а):

И то, и другое - абсурд. Подставьте $x=\theta$ в первую функцию, и $x=1$ во вторую. Ничего не смущает?

-- 15.01.2014, 02:01 --

$F_{G}(x)=$\left\{\!\begin{aligned} & 0 ,x<a\\ & (x-a)/(b-a) \ a<x\leqslant b \\ & 1 ,x>b \end{aligned}\right.

я понял ошибку ))) раставил не правильно интервалы

[--mS--]

Это лишь первая проблема. Вторая - в том, что функцию распределения минимума Вы искать не умеете: $\mathsf P(X_{(1)}<x)\neq (F_\theta(x))^n$.

[dair]

--mS-- в сообщении #814546 писал(а):

Это лишь первая проблема. Вторая - в том, что функцию распределения минимума Вы искать не умеете: $\mathsf P(X_{(1)}<x)\neq (F_\theta(x))^n$.

Напишу подробней откуда взялось тогда

-- 15.01.2014, 18:15 --

$P_{\theta}(X_{(n)}\leqslant \theta t)=P_{\theta}\{x_{1}\leqslant \theta t,...x_{n}\leqslant \theta t\}=(P_{\theta}\{x_{1}\leqslant \theta t\})^n=(F_{\theta}(\theta t))^n$

-- 15.01.2014, 18:16 --

Ну это для максимума

[dair]

А функцию распределения для $X_{(1)}/\theta$ не понятно как искать.
Но вроде можно и максимумом обойтись потому что распределение не зависит от $\theta$.

[--mS--]

Функцию распределения минимума ищут переходя к противоположному событию. Максимумом обойтись можно, но глупо: что знает про $\theta$ в равномерном распределении на $[-\theta,\, 0]$ статистика $X_{(n)}$? Интервал будет с километровой длиной. Как правильно перейти к максимуму, выше тоже написано: взять максимум не из иксов, а из минус иксов.

[dair]

Ну вот теперь вроде понял
$P(X_{(1)}\leqslant \theta x)=1-P(X_{(1)}\geqslant \theta x)=1-(P(x_{n}\geqslant\theta x))^n=1-(1-F_{\theta}(\theta x))^n$

$F_{G}(x)$=\left\{\!\begin{aligned} & 0 ,x<0\\ & 1-(1-((\theta x+\theta))/\theta)^n,-1\leqslant x \leqslant 0 \\ & 1 ,x>0 \end{aligned}\right.

[--mS--]

Ну вот, теперь и доверительный интервал можно строить.