Комплексное пространство

[evgeniy]

Хочу поделиться мыслями о свойствах нашего декартова пространства. В теории вероятности существует связь между средним квадратом, математическим отклонением, и с математическим ожиданием
$<x^2(t)> =<x(t)>^2+<[\Delta x(t)]^2>$
Т.е. средний квадрат случайной величины равен квадрату среднего плюс дисперсия. Это соотношение можно переписать в виде
$<x^2(t)> =|<x(t)>+i\sqrt{<[\Delta x(t)]^2>}|$
Из первого соотношения следует, что среднее и математическое отклонение образуют катеты, а квадрат среднего гипотенуза согласно обратной теореме Пифагора. Из второго соотношения следует, что декартова координата равна среднему значению величины, а ортогональная ей мнимая часть равна математическому отклонению. Т.е. получается, что наше декартово пространство содержит мнимую величину, математическое отклонение.
Причем понятие случайной величины и его математическое ожидание, среднее и дисперсию можно заменить средней величиной с быстрыми пульсациями, быстрее чем время наблюдения, и с его дисперсией и средним квадратом. Т.е. турбулентный режим в жидкости описывается комплексными координатами. И при описании турбулентного режима нужно использовать комплексное пространство.
Аналогично пространство микромира описывается комплексными координатами, если комптоновская частота, больше частоты наблюдения. Недаром квазистационарная энергия частиц комплексная, что означает комплексность координат, обеспечивающих эту сумму потенциальной и кинетической энергии. Прохождение через потенциальный барьер тоже описывается отрицательной кинетической энергией, т. е. мнимой скоростью.
Многие бесконечности в квантовой электродинамике будут устранены, если принять гипотезу о комплексном пространстве. Пропагаторы будут иметь в знаменателе мнимую часть. Интеграл, описывающий энергию вакуума имеет условный характер - параграф 129 Радиационные поправки к уравнениям электромагнитного поля. ЛЛ. Квантовая электродинамика. При использование комплексного пространства формулы приобретет конечный вид. Дело в том, что наряду с мнимой частью комплексной координаты, появится мнимая часть квадрата импульса, и значение $cot \nu a$ , входящем в формулу для энергии вакуума будет интегрироваться по величине $\nu$ от $i\alpha$ до $i\alpha+\infty$, обходя полюс котангенса. В действительном пространстве интегрирование осуществляется от 0 до $\infty$,
Имеются и другие ситуации, позволяющие решить проблемы квантовой механики с помощью комплексного пространства.
Но не только в микромире надо использовать комплексное пространство. В случае нелинейных уравнений в частных производных нужно использовать комплексное пространство. Нелинейные уравнения в частных производных с помощью метода Галеркина сводятся к обыкновенной бесконечной системе нелинейных уравнений. Произведя редукцию, получим конечную систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Например уравнение Навье – Стокса путем подстановки $\vec V=\sum_n \vec a_n(t)\varphi_n(\vec r) $
В это уравнение, умножении на величину $\varphi_m(\vec r) $
и интегрировании по пространству, сводится к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений
$\frac{d a_n}{dt}=\sum_{p,q} F_{npq} a_p a_q +\sum_{p} G_{np}a_p+H_n$

Причем, если положения равновесия комплексные, то получаются комплексные решение. Я уже приводил пример уравнения
$\frac{dx}{dt}=1+x^2; \frac{dx}{1+x^2}=dt; \arctg x=t+c;x=\tg(t+c) $
Которое имеет неявную схему решения
$x=x_0+(1+x^2)h+0(h^2) $
Откуда получаем
$x=\frac{1-\sqrt{1-4(x_0+h+0(h^2))h}}{h}$
Т.е. при условии большого $x_0$ получим комплексное решение.
Причем комплексное решение получилось из-за наличия комплексного положения равновесия $x= \pm i $. Причем комплексное решение конечное.
Таким образом уравнения в частных производных в случае наличия комплексных положений равновесия при применении метода Галеркина имеют комплексное решение. Причем это комплексное решение соответствует турбулентному режиму. Мнимая часть комплексного решения имеет физический смысл математического отклонения. Но также вращению с большой частотой. При этом режим при наличии мнимой части скорости является пульсирующим в силу непрерывной вращательной скорости потока.
Получается, что квантовая электродинамика и решение нелинейных уравнений в частных производных требует введения комплексного пространства. Имеются и другие области физики, которые требуют введения комплексного пространства, но это требует отдельного сообщения.

[warlock66613]

Ну да, в физике полно величин вроде бы вещественных, но оказывается имеющих осмысленную мнимую часть. Показатель преломления. Импульс в квазиклассическом приблежении в квантовой механике. Электрическое сопротивление. Выход в комплексную плоскость для обхода полюса при интегрировании - не новость. При чём тут комплексное постранство?

[arseniiv]

Угловые скобки набираются так: \langle \rangle — $\langle\rangle$.

[Утундрий]

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #813947 писал(а):

приблежении

Мы приблезились очень блезко к истене, и стене.

[evgeniy]

Действительно в физике очень много комплексных величин. Но связь в виде обратной теоремы Пифагора справедлива только для математического отклонения, среднего и среднего квадрата. Это модель комплексного пространства. Но дело в том, что из решения нелинейных уравнений возникают комплексные координаты и комплексная скорость, как в микромире, так и в макромире. В микромире это квазистационарная энергия, а в макромире это решение обыкновенных дифференциальных уравнений с комплексными положениями равновесия. Если мы сказали, что энергия и импульс комплексные, то надо сказать, что пространство их описывающее является комплексным. Физический смысл этого комплексного решения я и построил. Кроме того, дополнительная часть сообщения, что мнимая часть это дисперсия действительной части, так для показателя преломления мнимая часть является математическим отклонением действительной части. Аналогично для энергии и импульсе.

[provincialka]

evgeniy, вы думаете. если формулы похожие, то и физический смысл в них совпадает? Тогда как вы объясните "теорему Пифагора-Эйнштейна" $E=mc^2=m(a^2+b^2)$?

[evgeniy]

E имеет смысл энергии, a,b скорости, обратная теорема Пифагора не применима. Имеется в виду средняя координата, среднее математическое отклонение координаты, и средний квадрат координаты, координаты образуют декартово пространство.

[warlock66613]

evgeniy в сообщении #814144 писал(а):

мнимая часть это дисперсия действительной части, так для показателя преломления мнимая часть является математическим отклонением действительной части. Аналогично для энергии и импульсе.

Энергия, импульс и показатель преломления не являются случайными величинами, нет у них никакого математического отклонения, а мнимая часть есть.

[evgeniy]

Есть зависимость от времени, среднее и дисперсия определяются по зависимости от времени. Кроме того, если рассматривать переход от микромира к макромиру, то действительная часть показателя преломления это среднее, а мнимая часть это дисперсия. Хотя это мое предположение, надо это доказать вычислением. Но это отголоски темы, может быть кто-то этим займется.

-- Вт янв 14, 2014 12:43:37 --

Предполагалось что комплексно турбулентное течение, возникающее как комплексное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и пространство микромира, но в ходе обсуждения возникли другие комплексные величины. Высказывается предположение, что их действительная часть это среднее, а мнимая часть это математическое отклонение. Но это надо подтвердить вычислением, переходом из микромира в макромир. Вообще то действительная и мнимая часть диэлектрической проницаемости связана интегралом. Но то, что мнимая часть определяет дисперсию это правдоподобно, но это нужно проверить. Я пожалуй подумаю, но для этого нужно время.

[provincialka]

evgeniy в сообщении #814207 писал(а):

Хотя это мое предположение, надо это доказать вычислением.

Не столько вычислением, сколько интерпретацией. Связь между дисперсиями и средними - просто алгебраическая формула, полученная приведением подобных. Почему эти величины должны иметь такой же смысл, как декартовы координаты?

Вот вам еще формула: $\ch^2x = \sh^2x +1$. Поэтому можно считать, что средний квадрат $Ex^2=m^2\ch^2 t$, дисперсия $Dx =m^2\sh^2 t$, где $m = Ex$ - математическое ожидание. Да, равно. Но что означает $t$?

[evgeniy]

provincialka в сообщении #814251 писал(а):

Не столько вычислением, сколько интерпретацией. Связь между дисперсиями и средними - просто алгебраическая формула, полученная приведением подобных. Почему эти величины должны иметь такой же смысл, как декартовы координаты?

Имеется в виду простая идея, вычислить коэффициент диэлектрической проницаемости и проводимости из усреднения пространства микромира и должно оказаться, что диэлектрическая проницаемость это среднее, и проводимость это математическое отклонение, которое имеет знак плюс минус.
Ваша формула $\ch^2 t=\sh^2 t +1$ не является координатами декартова пространства и не является кандидатом в комплексное пространство. Если умножить на константу, являющуюся квадратом расстояния, то получится кандидат на пространство Минковского. Для применимости теоремы Пифагора катеты могут меняться, а гипотенуза при этом неизменна. Т.е. катетами служит гиперболический синус и косинус. В случае квадрата среднего, дисперсия и математическое отклонение могут меняться, оставляя квадрат среднего неизменным.
Точно также как формула $\sin^2 t+\cos^2 t=1$ определяет Евклидово пространство, но при этом согласно обратной теореме Пифагора синус и косинус ортогональны, если их интерпретировать их как пропорциональные расстоянию. Теорема Пифагора справедлива только для расстояний. Причем образуют комплексную переменную с точностью до радиуса. Но косинус и синус равноправны, и знак мнимой части произволен, а математическое отклонение имеет знак плюс минус, как и мнимая часть (существует комплексно сопряженная величина, с тем же модулем, но отличающаяся знаком фазы).

[Munin]

evgeniy
Ну хорошо. Допустим, вы нас уговорили, и мы решили каждую формулу $a^2=b^2+c^2$ воспринимать как скрытый намёк на прямоугольный треугольник. А с формулой типа $a^2=b^2+c^{2{,}1}$ что делать?

[evgeniy]

Для применимости обратной теоремы Пифагора нужно чтобы a,b,c имело смысл расстояний. В случае $c^2=a^2+b^{2.1}$ ничего сказать об ортогональности a,b нельзя и они не образуют ортогональные компоненты.
В случае диэлектрической проницаемости, она не имеет смысл расстояния и не может рассматриваться как декартово пространство. Но тем не менее действительная часть это среднее, а мнимая часть это математическое отклонение, образующие не декартово пространство, а пространство по одной оси отложена действительная часть, а по другой мнимая часть диэлектрической проницаемости. Я так предполагаю, но повторяю мнимую часть надо вычислить и убедиться, что это дисперсия.

[evgeniy]

Я почитал книгу Сивухина Электричество и прочел вывод проводимости и диэлектрической проницаемости. Проводимость пропорциональна среднему времени свободного пробега, а диэлектрическая проницаемость пропорциональна диполю, расстояние между зарядами которого эквивалентно дисперсии. Т.е. комплексная диэлектрическая проницаемость умножена на мнимую единицу, на самом деле диэлектрическая проницаемость, которая используется как действительная часть, это мнимая часть или дисперсия, а проводимость действительная часть или среднее комплексной диэлектрической проницаемости.

[Munin]

evgeniy в сообщении #814280 писал(а):

о тем не менее действительная часть это среднее, а мнимая часть это математическое отклонение

Какие-нибудь основания так считать, кроме вашего желания, мы услышим?