Радиальные колебания

[Omega]

Можно сначала. В обычном случае кинетическая энергия тела это

$$T=\frac{m\dot{r}^{2}}{2}+\frac{m}{2}r^{2}\dot{\varphi}^{2}$$

В релятивистском же случае:

$$T=mc^{2}(\gamma-1);\gamma=\left (1-(\dot{r}/c})^{2} \right) ^{-1/2}$$

Каким здесь образом выделить радиальную и угловые части энергии?

[Munin]

У вас там вектор $\dot{\mathbf{r}}$ стоит под квадратом, а он на самом деле раскладывается в радиальную и угловую часть.

[Omega]

lucien, спасибо,но к превеликому сожалению, мне пока что непосильно "осознание и понимание" того, что там описано.
Просто очень жаль, что моих знаний недостаточно в полной мере, чтобы решать подобные задачи.
Поэтому я и попросил помощь на этом форуме; пишу в сообщениях свои мысли и спрашиваю, верны ли они.

Munin, получается $\dot{\vec{r}}=d(r \vec{e}_{r})/dt=\dot{r}\vec{e}_{r}+r\vec{e}_{\varphi}\dot{\varphi}$.
А как далее из этого выразить из кинетической энергии радиальную и угловую части по отдельности?
Заранее спасибо.

[lucien]

Я бы вам посоветовала стартовать с лагранжиана

$$ L=-m\sqrt{1-v^2}-U, $$

где в качестве координат рассматривать $r$ и $\varphi$. $\varphi$ -- циклическая координата, отсюда получаете момент. Далее из уравнения на $r$ исключаете $\dot{\varphi}$ с помощью найденного интеграла момента и находите эффективный потенциал.

[Munin]

Omega в сообщении #812577 писал(а):

А как далее из этого выразить из кинетической энергии радиальную и угловую части по отдельности?

Да возведите вектор в квадрат!

lucien
Посмотрите задачник. Непохоже, чтобы там подразумевалось использование лагранжева формализма. Он какой-то более простой.

[Omega]

Получается, что:

$$\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\varphi}^{2}}{c^{2}}}} \approx \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{r^{2}\dot{\varphi}^{2}}{c^{2}}}}$$

А что же делать дальше? Как найти радиус орбиты в л.с.о., и каким образом мне нужно использовать выражение для энергии?

[Munin]

Omega в сообщении #813194 писал(а):

Получается, что...

И зачем вы выкинули часть $\dot{r}$? Нужно всю гамму подставлять в выражение для $T,$ и раскладывать его по $\dot{r}$ как по малому параметру, чтобы вытащить его в числитель. Тогда у вас будет выражение, аналогичное нерелятивистскому, плюс поправки высших степеней, которыми пренебрежём.

[Omega]

Ещё раз спасибо Вам, Munin. То есть:

$$\gamma(\dot{r})\approx \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{r^{2}\dot{\varphi}^{2}}{c^{2}}}}+\dfrac{\dot{r}^{2}}{2c^{2} \left (1-\dfrac{r^{2}\dot{\varphi}^{2}}{c^{2} \right)^{3/2}}}$$

Поэтому далее:

$$T=mc^{2} \left (\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{r^{2}\dot{\varphi}^{2}}{c^{2}}}}-1 \right)+\dfrac{m\dot{r}^{2}}{2 \left (1-\dfrac{r^{2}\dot{\varphi}^{2}}{c^{2} \right)^{3/2}}}$$

Верно ли я понимаю, что далее радиальная кинетическая энергия не нужна?
Поэтому дальше получается следующее:

$$L=\gamma m r^{2} \dot{\varphi} \Rightarrow r\dot{\varphi}=\dfrac{Lc}{\sqrt{L^{2}+m^{2}r^{2}c^{2}}} \Rightarrow T=\left (\sqrt{\dfrac{L^{2}}{r^{2}c^{2}}+m^{2}} -m\right)c^{2}$$

[Munin]

Omega в сообщении #813393 писал(а):

Верно ли я понимаю, что далее радиальная кинетическая энергия не нужна?

Ну, приберегите её. Видите, у неё какой-то коэффициент вылез, кроме массы. Он повлияет на частоту малых колебаний.

Теперь, сумма исходного и центробежного потенциала будет эффективным потенциалом. Малые колебания происходят в нём около минимума. Надо найти сам минимум и вторую производную эффективного потенциала в нём. Это будет коэффициент жёсткости пружинного маятника. А масса пружинного маятника - будет как коэффициент в радиальной кинетической энергии.

[Omega]

Хорошо. Тогда:

$$U_{\text{эфф}}=-\dfrac{\alpha}{r}-\dfrac{\beta}{r^{2}}+\left (\sqrt{\dfrac{L^{2}}{r^{2}c^{2}}+m^{2}} -m\right)c^{2} $$

$$\begin{cases}\dfrac{dU_{\text{эфф}}}{dr}=0\\\dfrac{d^{2}U_{\text{эфф}}}{dr^{2}}>0\end{cases}\Rightarrow r_{0}=... \left( \alpha+2\,{\frac {\beta}{r}} \right) ^{2}={L}^{4} \left( {\frac {{L}^{2}}{{c}^{2}}}+{m}^{2}{r}^{2} \right) ^{-1}$$

А после:

$$k=\left \dfrac{\partial^{2}U_{\text{эфф}}}{\partial r^{2}} \right|_{r=r_{0}}=\left {\frac {\alpha}{{r}^{3}}}-{\frac { \left( \alpha\,r+2\,\beta \right) ^{3}}{{L}^{2}{r}^{6}{c}^{2}}}\right|_{r=r_{0}}$$

$$M=\dfrac{m}{\left (1-\dfrac{r_{0}^{2}\dot{\varphi}^{2}}{c^{2} \right)^{3/2}}}={\frac { \left( {L}^{2}+{m}^{2}{c}^{2}{r}^{2}\right) ^{3/2}}{{m}^{2}{c}^{3}{r}^{3}}}$$

$$\omega^{2}=\dfrac{k}{M}$$

Как-то так ведь, верно?

[Munin]

Да. Теперь реализуете эту схему: из первого уравнения достаёте $L(r_0)$ (или удобней будет $r_0(L)$?), и подставляете в последние два выражения.

[Omega]

$$\left( \alpha+2\,{\frac {\beta}{r}} \right) ^{2}={L}^{4} \left( {\frac {{L}^{2}}{{c}^{2}}}+{m}^{2}{r}^{2} \right) ^{-1}$$

Вы имеете в виду вот это уравнение? Если да (...в поисках $r_{0}=r_{0}(L)$ ), то оно четвёртой степени и совсем не легко проверяется на лишние корни, плюс к тому, корень должен удовлетворять минимуму эффективного потенциала, что проверяется ещё более не лёгким способом.
Неужели "ничего страшного" ?