Приведение к каноническому виду квадратичной формы

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Возник вопрос по такой задачке: Привести квадратичную форму $F(x,y,z)$ к каноническому виду. Определить знакоопределенность квадратичной формы.

$$F(x,y,z) = 4x^2+6y^2+4z^2+4xz-8y-4z+3$$

Хотел воспользоваться методом приведения к главным осям, но тут сразу проблема: не знаю, как записать матрицу квадратичной формы, так как не знаю, куда вписывать коэффициенты при $y$ и $z$.

Метод Лагранжа:
Тут проблема с выделением полного квадрата по $z$, эту переменную содержат: $4z^2+4xz-4z$, а как выделить полный квадрат по трем переменным?

Или может есть какие-нибудь более простые (в данном случае) способы?

[Otta]

Сдается, Вы не очень хорошо помните, что такое квадратичная форма. Иначе бы Вам в голову не пришел такой вопрос

Limit79 в сообщении #813198 писал(а):

куда вписывать коэффициенты при $y$ и $z$.

[Limit79]

Otta
То есть их вообще не учитывать? Но ведь в каноническом виде должны остаться только квадраты, то есть от первой степени нужно как-то избавиться.

-- 12.01.2014, 09:03 --

Я нигде не могу найти подобного примера, везде только квадраты и произведения.

[provincialka]

Это уже потом. Методом выделения полных квадратов.

[Limit79]

provincialka
То есть сначала находить собственные значения и т.д.?

-- 12.01.2014, 09:59 --

Составил матрицу

$$A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2\\ 0 & 6 & 0\\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$

Нормированные собственные векторы: $\vec{x_{1}} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}, \vec{x_{2}} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \vec{x_{3}} = \begin{pmatrix} -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}, $

Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} x = \frac{\sqrt{2}}{2} x' - \frac{\sqrt{2}}{2} z'\\ y=y'\\ z = \frac{\sqrt{2}}{2} x' + \frac{\sqrt{2}}{2} z' \end{matrix}\right.$$

Подставил, выделил полные квадраты:

$$F(x',y',z') = 6 \left ( x' - \frac{\sqrt{2}}{6} \right )^2 +6 \left ( y' - \frac{2}{3} \right )^2 + 2 \left ( z' - \frac{\sqrt{2}}{2} \right )^2 - 1$$

Далее:

$$\left\{\begin{matrix} x'' = x' - \frac{\sqrt{2}}{6}\\ y''=y' - \frac{2}{3}\\ z'' = z' - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.$$

Получаю: $F(x'',y'',z'') = 6x''^2+6y''^2+2z''^2-1$

А дальше надо что-нибудь делать?

[iifat]

Otta в сообщении #813203 писал(а):

Сдается, Вы не очень хорошо помните, что такое квадратичная форма

Limit79 в сообщении #813206 писал(а):

Я нигде не могу найти подобного примера

Ладно примеры, вы таки определение найдите!

[Limit79]

iifat
Я нашел:

(Оффтоп)

Там отдельно переменных нет, значит.. не знаю что значит

[iifat]

Посмотрите на определение. Посмотрите на свою "форму". Снова на определение. Снова на "форму". Повторять, пока не осенит.

[Limit79]

iifat
Судя по тому, что в определении только квадраты и произведения, а $x_{1},x_{2}...x_{n}$ отдельно нету, то... это вообще не квадратичная форма, но такое вряд ли может быть

[iifat]

В мире, вообще-то, просто таки уйма функций, не являющихся квадратичными формами. Что именно вас удивляет? Посмотрите хорошенько в задачнике, может, там используется какое-нибудь другое определение квадратичной формы? Весьма сомнительно, конечно, но чем чорт не шутит...

[Limit79]

iifat
Это квадратичная форма, так как это в задании написано. Не понимаю, к чему Вы клоните...

-- 12.01.2014, 11:10 --

Кстати, а мое решение неверно?

[Otta]

Ответьте, пожалста, на простой вопрос: как у Вашей квадратичной формы (раз уж Вы постановили ее ею считать) со знакоопределенностью?

[Limit79]

Otta
Да я уже не знаю... видимо, мое решение неверно...

[Otta]

Какое задание, такое и решение.
Вы же прочитали определение квадратичной формы. У Вас была возможность убедиться, что Ваша функция кв. формой не является, поскольку кроме кв. формы содержит линейную и свободный член.

Можно, конечно, эту функцию пытаться приводить к более простому виду, и даже разумно называть этот вид каноническим, но исходная функция от этого квадратичной формой не станет.

[Limit79]

Otta

Otta в сообщении #813251 писал(а):

и даже разумно называть этот вид каноническим

А если в выражении квадраты и свободный член, разумно ли это называть каноническим видом?

Про знакоопределенность - можно ли использовать критерий Сильвестра?

-- 12.01.2014, 11:59 --

Кстати, читал где-то про взаимосвязь между знакоопределенностью и знаками коэффициентов при квадратах в каноническом виде (т. е. собственных значений), но не помню где, был бы очень благодарен, если бы кто напомнил, чтобы хоть как-то проверить.

-- 12.01.2014, 12:20 --

Ладно, спасибо, не является - так не является