Норма оператора над пространством Соболева.

[wolfspring]

Для $\ k = 2.5$ подошла функция $ \ p(t) = \sin(\frac {\pi} {2} t)$
Из этого очевидно, следует, что ответ неправильный, так как $ \frac {3 + \sqrt {5}} {2} = 2.618033989...$

Но какая норма у этого оператора на самом деле?

[sup]

Если в качестве $p(t)$ взять простейшую параболу $2t - t^2$, то получим $k=2$. А какая норма на самом деле? Да какая разница. Ну, например, какой-нибудь нуль какой-нибудь спец. функции (в лучшем случае). Ну и что. Вычисления показывают, что $k \approx 1.8...$. Что-то такое.

[popolznev]

А что, если, наоборот, зафиксировать не норму $x$ в исходном пространстве, а значение $x^2(1) = 1$, и при этом условии шевелить нормами? Например, рассмотреть функции вида "ноль-ноль-ноль... а потом быстро-быстро взбегает к единице".

[svv]

Не помогла бы система полиномов, ортогональных относительно соболевской нормы?

[sup]

Да тут вряд ли что поможет. Надо решить либо уравнение Риккати, либо (что эквивалентно) уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Лучшее, на что можно надеяться, это выписать решение через какие-нибудь спец. функции. Но я, честно говоря, не вижу в этом какого-то особого смысла. Задача оказалась "с дыркой". Ну что-ж теперь. Оценили норму сверху да и ладно.

[svv]

Ой, я имел в виду, относительно скалярного произведения
$\int_{0}^{1} (x(t)y(t)+x'(t)y'(t))\; dt$
Ну, Вы меня поняли, я Вас тоже.