Дробно-линейное отображение, проблема построить окружность

[moist]

Есть дробно-линейная функция и область:
$\omega = \frac{z - 3}{z + 3}$, $D = \{z:\; \operatorname{Im} z < 2 \operatorname{Re} z,\; |z| < 1 \}$

Рисунок исходной области:


По круговому свойству окружность перейдет в окружность $|z| = 1$, строится запросто. А вот с прямой сложней. Пришел к выводу, что она тоже перейдет в окружность, мысленно представляю это так: возьмут ее за точку $O$ и потянут влево. Получится какая-то окружность. Но точное ни точные точки ее пересечения с осями, ни центр, ни уравнение окружности не удается получить для нее. Построить могу лишь примерно как описал.

Есть по ней это. Прямая задается уравнением $y = 2x$, функцию $\omega$ разложил на действительную и мнимую части. Теоретически подставив уравнение прямой в систему из мнимой и действительной части, можно в конечном итоге вывести уравнение окружности. Но сделать это не удается... а построить надо бы нормально. Сама система:

$\begin{cases}{u = \frac{(x^2 - 9) - y^2}{(x + 3)^2 + y^2} \\ v = \frac{2xy}{(x + 3)^2 + y^2}}\end{cases}$

[Otta]

По хорошему если, смотрят, какая точка уходит в бесконечность. Тогда симметричная точка отн-но прямой (окружности) переходит в центр образа этой прямой (окружности). Радиус определить труда обычно не представляет.

[moist]

Тогда явно точка $z = -3$ будет давать $\omega(-3) = \infty$ (если что-то поделим на ноль, то получим бесконечность). Получается, что точка $z = +3$ есть центр окружности, что похоже на правду.

А с радиусом как быть? Отталкиваться от системы и $(v - v_0)^2 + (u - u_0^2) = R^2$ (получается $v_0$ и $u_0$ известны уже). Но подставить выражения из системы в уравнение окружности вроде бред.

[provincialka]

Во-первых, непонятно, зачем вы при описании образов используете. $z$, а не $w$. Что такое $z=3$? Это центр окружности, (образа прямой)? Или эта точка переходит в центр?
Правильно ли я поняла, что вы считаете точку $3$ симметричной точке $-3$? Относительно чего?

В конце концов, всегда можно взять несколько точек прообраза, построить их образы и посмотреть, как они расположены.

[moist]

provincialka в сообщении #812293 писал(а):

Что такое $z=3$?

Точка (аргумент), при подстановке которого в функцию $\omega$, эта функция обращается в бесконечность.

provincialka в сообщении #812293 писал(а):

Правильно ли я поняла, что вы считаете точку $3$ симметричной точке $-3$? Относительно чего?

Относительно мнимой оси (там проходит прямая $y = 2x$, которая образно делит комплексную плоскость на две части). В моих мыслях и выходит, что точка $3$ симметрична точке $-3$ относительно прямой $y = 2x$. И, если верить пользователю Otta, то точка $3$ и будет центром полученной окружности с помощью отображения функцией $\omega$.

provincialka в сообщении #812293 писал(а):

В конце концов, всегда можно взять несколько точек прообраза, построить их образы и посмотреть, как они расположены.

Это хороший метод (грубой силы), но не факт что даст точные точки пересечения с осями координат (или уравнение окружности). Я пробовал так строить и получил то, как эта окружность примерно выглядит. Можно взять и больше точек (я брал небольшое количество и строил полуокружность, которая меня и интересовала тогда), но вот требуют точного решения.

[provincialka]

Нет, при $z=3$ функция не уходит в бесконечность, наоборот, она равна 0. И при чем тут мнимая ось? Она никак не связана с областью. Надо брать точку, симметричную относительно именно прямой $y=2x$.
И вообще у вас полно ошибок, я даже не уверена, что образ окружности вы получили верно!

[Otta]

moist в сообщении #812299 писал(а):

И, если верить пользователю Otta, то точка $3$ и будет центром полученной окружности с помощью отображения функцией $\omega$.

Пользователь такого не говорил. Перечитайте внимательно.
И вообще, какое отношение точка на плоскости $z$ имеет к окружности на плоскости $w$? Как она может быть или не быть ее центром?

[provincialka]

Сделайте проще. Выразите $z$ через $w$ и наложите на полученное выражение условия, задающие прообраз.

[moist]

provincialka в сообщении #812300 писал(а):

Нет, при $z=3$ функция не уходит в бесконечность, наоборот, она равна 0.

Может чего-то и напуталось, но $\omega(-3) = \infty$. От этого я и отталкивался дальше, смотрел симметрию относительно прямой $y = 2x$.

Otta в сообщении #812301 писал(а):

И вообще, какое отношение точка на плоскости $z$ имеет к окружности на плоскости $w$?

Чисто точка $z$ естественно не имеет отношения к плоскости $\omega$, но вот точка $\omega(z)$ же имеет.

Что во что перейдет много раз смотрел, но в конечном итоге пришел, что все перейдет в окружности. В рисунке пропорции не соблюдены, лишь схематическое представление. Попробую переосмыслить еще раз на счет ухода в бесконечность...

[Otta]

moist в сообщении #812304 писал(а):

Чисто точка $z$ естественно не имеет отношения к плоскости $\omega$, но вот точка $\omega(z)$ же имеет.

Вот именно. А Вы ни одного образа (кроме бесконечно удаленного) еще не посчитали. О чем же речь?

[provincialka]

Здесь проще решать "в лоб": выразить $z=-3\frac{w+1}{w-1}$ и наложить условия $|z|=1$ и $y=2x$. Оба дают окружности в плоскости $u,v$. Центр первой на действительной оси, второй - на мнимой.

[Otta]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #812309 писал(а):

проще

Ну это ж кому чего. Там симметричную к прямой надо уметь искать (дааа, ангем 1-й курс ))), а симметричная к окружности - совсем дело устное.

[iifat]

В принципе, если уж точно знать, что окружность, можно взять три точки, найти образы и провести через них окружность. Хоть и ненаучно, конечно.

[ewert]

moist в сообщении #812282 писал(а):

По круговому свойству окружность перейдет в окружность $|z| = 1$,

С какой стати? Надо честно брать три точки на окружности и проводить окружность через их образы. Впрочем, отображение вещественно-аналитично, поэтому достаточно двух точек на вещественной оси.

Что же касается прямой, то Вам ведь в любом случае и безусловно понадобится найти образы двух "вершин" полукруга, вот честно их и ищите. Недостающая же для построения образа прямой третья точка -- это образ или нуля, или бесконечности, или (для надёжности) оба.

iifat в сообщении #812326 писал(а):

Хоть и ненаучно, конечно.

Это супернаучно: задачка ровно и рассчитана на закрепление этого тайного знания.