Ряд Фурье в комплексной форме

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Столкнулся с такой задачей: построить ряд Фурье в комплексной форме для функции, заданной графически:



Задаю функцию аналитически:

$$\[f\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} - \frac{{2t}}{\pi } + 1,\,\,0 \le t \le \frac{\pi }{2}\,\,\\ \frac{{2t}}{\pi } - 1,\,\,\frac{\pi }{2} < t < \pi \end{array} \right.\]$$

Доопределяю ее до четной (надо ли?):

$$\[f\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l} - \frac{{2t}}{\pi } - 1,\, - \,\frac{\pi }{2} < t < - \pi \\ \frac{{2t}}{\pi } + 1,\,\, - \frac{\pi }{2} \le t < 0\\ - \frac{{2t}}{\pi } + 1,\,\,0 \le t \le \frac{\pi }{2}\,\,\\ \frac{{2t}}{\pi } - 1,\,\,\frac{\pi }{2} < t < \pi \end{array} \right.\]$$

Нахожу коэффициенты ряда Фурье:

$$\[{c_0} = \frac{1}{{2\pi }} \cdot \left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( { - \frac{{2t}}{\pi } + 1} \right)dt} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( {\frac{{2t}}{\pi } - 1} \right)dt} } \right) = ... = \frac{1}{4}\]$$

$$\[{c_n} = \frac{1}{{2\pi }} \cdot \left( {\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( { - \frac{{2t}}{\pi } + 1} \right) \cdot {e^{ - i \cdot nt}}dt} + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left( {\frac{{2t}}{\pi } - 1} \right) \cdot {e^{ - i \cdot nt}}dt} } \right) = ...\]$$

Для $c_{n}$ выражение довольно громоздкое.

Искомый ряд Фурье:

$$\[f\left( t \right) \sim \frac{1}{2} + \sum\limits_{n = - \infty }^{ - 1} {{c_n} \cdot {e^{i \cdot nt}}} + \sum\limits_{n = - 1}^\infty {{c_n} \cdot {e^{i \cdot nt}}} \]$$

Верны ли формулы, по которым я считаю?

Строю график исходной функции и $S_{50}(x)$:

(Оффтоп)

Вроде совпадает, но только для правой половины, почему не совпадает для левой?

Заранее спасибо за помощь!

-- 07.01.2014, 23:53 --

Суть темы скорее в следующем: я знаю формулы для разложения в комплексный ряд Фурье на $[-l;l]$, но так и не нашел формул для разложения на $[0;l]$. Второй случай скорее сводится к первому, доопределением исходной функции на $[-l;0)$ четным или нечетным образом, получается, нужны формулы для разложения четных и нечетных функций в комплексный ряд Фурье, которых я не знаю

-- 08.01.2014, 00:01 --

Сейчас проверил - если в коэффициентах учитывать еще и левую часть, то есть еще плюс 2 интеграла, то график левой части тоже совпадает. Но мне же нужна только правая часть.

[Otta]

Это неважно, какой отрезок. Система функций $e^{\frac{ik\pi }{l}x}$ - полная ортогональная на любом отрезке $[a,b]$ длины $2l$. И формула для коэффициентов Фурье не меняется, естественно. Так что можно было не доопределять до четной - но раскладывать по другой системе.

(Оффтоп)

Limit79 в сообщении #811038 писал(а):

Вроде совпадает, но только для правой половины, почему не совпадает для левой?

Limit79 в сообщении #811038 писал(а):

Сейчас проверил - если в коэффициентах учитывать еще и левую часть, то есть еще плюс 2 интеграла, то график левой части тоже совпадает.

И это (и то, и другое) естественно. Потому что когда Вы берете только интеграл по отрезку $[0,\pi]$, то это Ваше действие равносильно тому, что Вы интегрируете по отрезку $[-\pi,\pi]$ функцию, слева от нуля нулевую. Поэтому все коэффициенты Вами посчитаны для такой функции, и график у суммы соответствующий.

[Limit79]

Otta
Спасибо, я то же самое нашел:

(Оффтоп)

Попробовал сделать так, но получается что-то не то:

(Оффтоп)

-- 08.01.2014, 00:22 --

Оригинал

[Otta]

Ну Вы же видите, что она ровно в два раза меньше, ну как не найти ошибку? ))

[Limit79]

Otta
Двоечка в знаменателях перед интегралами лишняя, ведь $L = \frac{\pi}{2}$

Огромное спасибо!

Сейчас буду считать второй интеграл, ответ меня пугает

[Otta]

А Вы упрощайте, машина-то дура, но Вам негоже $e^{-i\pi n}$ оставлять как есть.

[Limit79]

Otta
Т.е. заменять $e^{- i \pi n} = (-1)^n$?

[Otta]

Да, и все что можно посчитать, безусловно, надо посчитать, а не носить так, как Вы носите.

[Limit79]

Otta
А что я ношу?

[Otta]

Гошшподи, ну там же почти все сокращается, ну пора уже взять в привычку.

[Limit79]

Otta
Аа... Вы про это, я просто еще не считал вручную, сейчас вот буду.

[ewert]

Limit79 в сообщении #811038 писал(а):

Доопределяю ее до четной (надо ли?):

Не надо ли точно.

[Limit79]

Ответ получился не столь громоздкий:

$$f(t) \sim \frac{1}{2} + \sum\limits_{n=-\infty}^{-1} \frac{1-(-1)^n}{\pi^2 n^2} e^{2 i n t} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^n}{\pi^2 n^2} e^{2 i n t}$$

[Otta]

И еще упрощается, если обратить внимание, что получится при $n$ различной четности.

[Limit79]

Otta
$e^{2 i n t} = \cos(2nt)+i \sin(2nt)$

При нечетном $n$, например при $n=1$ будет $\cos(2t)+i \sin(2t)= ?$

При четном $n$, например при $n=2$ будет $\cos(4t)+i \sin(4t)= ?$

-- 08.01.2014, 02:45 --

При $n=-1$ будет $\cos(2t)- i \sin(2t)$