Уравнение Теплопроводности

[exitone]

В своих рукописных лекциях нашел некоторые свойства уравнения теплопроводности ( они сформулированы сразу после доказательства существования решения задачи Коши).
Уравнение $u_t = a^2 \Delta u$, $u|_{t=0} = u_0 (x)$
1. $u(x,t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow +\infty$
2. Бесконечная скорость распространения возмущений.
3. Пусть $u_0(x)=0$ вне $D$, тогда $u(x,t) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow \infty$

Поясните пожалуйста откуда вылезает второе свойство и как его понимать.

[Oleg Zubelevich]

из аналитичности решения по пространственным переменным возникает. Теорему единственности для аналитических функций знаете? Вот это она и есть.

[exitone]

спасибо!

[Vince Diesel]

Можно проще. Если начальная функция была положительна на некотором интервале и равна нулю вне его, то при $t>0$ решение будет положительным на всей прямой. Что означает, что начальный нагрев распространяется на всю прямую за сколь угодно малое время.

[exitone]

т.е. бесконечная скорость в смысле имеющегося начального скачка температур везде?

[Vince Diesel]

Положительная температура с конечного интервала мгновенно распространяется на всю прямую.

При конечной скорости распространения тепла в любой момент времени $t>0$ вне некоторого интервала температура равнялась бы нулю.

[ewert]

exitone в сообщении #810872 писал(а):

т.е. бесконечная скорость в смысле имеющегося начального скачка температур везде?

Это вообще "Очень Странное Свойство" ((с) Алиса там). Скорее следовало бы удивляться тому, что хоть в каких-то задачах эта скорость не бесконечна. И поскольку таковые (волновые), как ни странно, всё-таки встречаются -- видимо, эстетики ради сочинители свойств эту фразу и к теплопроводности пристегнули. Вышло неэстетично; ну что вышло.