2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия
Сообщение06.01.2014, 01:25 


06/01/14
8
Здравствуйте! Помогите пожалуйста проверить мое решение задачи номер 82 из сборника Демидовича.

Условие: Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности $x_n = a_0+a_1 q+ \cdots +a_n q^n$, где $|a_k| < M (k = 0,1, \cdots) $ и $|q| < 1$

Решение:

Рассматриваю разность $$|x_n - x_{n+p}| = |a_{n+1}q^{n+1}+a_{n+2}q^{n+2}+\cdots+a_{n+p}q^{n+p}| < |Mq^{n+1}+\cdots+Mq^{n+p}| = M|q^{n+1}+\cdots+q^{n+p}|$$

А так как $q^{n+1} > q^{n+l}, l > 1 $ и слагаемых под знаком модуля $p$ штук, то
$$ M|q^{n+1}+\cdots+q^{n+p}| < pM|q^{n+1}| < \varepsilon$$

Решая последнее неравенство нахожу, что $n > \frac{\ln q}{\ln \frac{\varepsilon}{qpM}}$

Сразу скажу, что меня терзают сомнения насчет правильности решения.
Большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия
Сообщение06.01.2014, 01:29 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Yaroslav86 в сообщении #810002 писал(а):
Рассматриваю разность $$|x_n - x_{n+p}| = |a_{n+1}q^{n+1}+a_{n+2}q^{n+2}+\cdots+a_{n+p}q^{n+p}| < |Mq^{n+1}+\cdots+Mq^{n+p}| = M|q^{n+1}+\cdots+q^{n+p}|$$

Это большое несчастье - выписывать из всего высказывания одно лишь заключительное неравенство. Что там до неравенства было написано? Когда оно должно быть верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия
Сообщение06.01.2014, 01:43 


06/01/14
8
Извините, я не совсем понял, о чем вы. В формулировке критерия сказано что для любого $\varepsilon$ должен существовать номер $N$ такой, что для любого $ n, p > N$ выполняется неравенство $|x_n-x_{n+p}| < \varepsilon$
Соответственно, я вроде бы нашел этот номер, но я сомневаюсь в своем ответе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия
Сообщение06.01.2014, 01:50 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Yaroslav86 в сообщении #810008 писал(а):
Извините, я не совсем понял, о чем вы. В формулировке критерия сказано что для любого $\varepsilon$ должен существовать номер $N$ такой, что для любого $ n, p > N$ выполняется неравенство $|x_n-x_{n+p}| < \varepsilon$

Вот да, я именно об этом. Только $p$ не больше $N$, а просто любое натуральное.
Однако обратите внимание, что выбор $N$ осуществляется только в зависимости от эпсилон (для каждого - вообще говоря, свой). А значит, $N$ (больше которого $n$) не может выбираться в зависимости от $p$.

Высказывания надо писать полностью. Тогда и ошибки Ваши при внимательном взгляде Вам самому будут видны:
Yaroslav86 в сообщении #810002 писал(а):
$n > \frac{\ln q}{\ln \frac{\varepsilon}{qpM}}$

А надо было честно посчитать сумму $q^{n+1}+\ldots+q^{n+p}$, и все должно было хорошо получиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия
Сообщение06.01.2014, 02:04 


06/01/14
8
Ага, про $p$ понял.

Но у меня получилось, что $q^{n+1}+\ldots+q^{n+p} = \frac{q^{n+1}(q^p-1)}{q-1}$ и как оценить полученное выражение (теперь ведь оно зависит только от $n$, вернее $p$ - постоянное число) я не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия
Сообщение06.01.2014, 02:09 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Почему, от $p$ оно тоже зависит. И модуль не забывайте, $q$, как видно из условия, не обязательно положительно. Все там хорошо оценивается, в одно касание. Подумайте. $p$ произвольно, перечитайте то, что я Вас просила выписать, еще раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия
Сообщение06.01.2014, 02:54 


06/01/14
8
Ох, не знаю. Как ни пересчитываю сумму, чтоб избавиться от $p$ хотя бы, ничего не получается. Конечно, если положить например $p = 1$, то все прекрасно, но это же неправильно. Если как-нибудь намекнете, то буду очень благодарен.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия
Сообщение06.01.2014, 03:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
Otta в сообщении #810011 писал(а):
А значит, $N$ (больше которого $n$) не может выбираться в зависимости от $p$.
Yaroslav86, похоже, Вы это поняли так, что $p$ надо зафиксировать:
Yaroslav86 в сообщении #810022 писал(а):
вернее $p$ - постоянное число
Наоборот, Вы должны выбирать $N(\varepsilon)$ так, чтобы при любом $p>0$$n>N$, конечно) удовлетворялось $|x_n-x_{n+p}| < \varepsilon$.

Сумма Ваша $q^{n+1}+\ldots+q^{n+p}$ зависит от $p$, и Вы с этим ничего не поделаете. Но если для данного $\varepsilon$ выбрать $N$ достаточно большим, то независимо от последующего выбора $p$ Вы «впишетесь», потому что последовательность сходится. Докажите это, оценив Вашу |сумму| выражением, в которое $p$ уже не входит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия
Сообщение06.01.2014, 04:20 


06/01/14
8
Подождите, а можно ли оценить это все так:
$$|M\frac{q^{n+1}(1-q^p)}{1-q}|<|M\frac{q^{n+1}}{1-q}|$$?

Ведь $|1-q^p| = |q^p-1| < 1$ при любом $p$ и $|q| < 1$. Просто переставил местами под знаком модуля 1 и $q^p$ и все стало вроде виднее.

Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия
Сообщение06.01.2014, 04:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10894
Crna Gora
Направление правильное. Только не забывайте, что $q$ может быть и отрицательным. Это чуть портит дело:
$|1-(-0.3)^5|<1$ неверно
Но, хоть этот модуль и не обязательно меньше $1$, всё же не намного больше. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия
Сообщение06.01.2014, 04:44 


06/01/14
8
Ок, тогда можно ли так сказать: $|(1-q^p)| < 2$? При $|q| < 1$ модуль не превосходит 2. И тогда
$$|M\frac{q^{n+1}(1-q^p)}{1-q}|<2|M\frac{q^{n+1}}{1-q}| = 2M|\frac{q^{n+1}}{1-q}|$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия
Сообщение06.01.2014, 11:20 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Yaroslav86, Вы обратите внимание, что если придираться, то уже это неравенство неверно:
$$|a_{n+1}q^{n+1}+a_{n+2}q^{n+2}+\cdots+a_{n+p}q^{n+p}| < |Mq^{n+1}+\cdots+Mq^{n+p}|.$$ Кто же внутри модуля оценки делает? Вот как только тут исправите, все нормализуется само собой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия
Сообщение06.01.2014, 16:34 


06/01/14
8
Otta, да, спасибо, я понял, что неправильно написал. Нужно вот так, как я понимаю:

$$|a_{n+1}q^{n+1}+\ldots+a_{n+p}q^{n+p}| \leqslant |a_{n+1}q^{n+1}|+\ldots + |a_{n+p}q^{n+p}|< M(|q|^{n+1}+\ldots+|q|^{n+p})$$

Только теперь получается $|q|^{n+1}+\ldots+|q|^{n+p} = \frac{|q|^{n+1}(1-|q|^p)}{1-|q|}$

Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия
Сообщение06.01.2014, 16:35 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Ага, правильно. Ну вот теперь избавляйтесь от $p$, как собирались, и находите $N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия
Сообщение06.01.2014, 17:53 


06/01/14
8
Otta, svv
Спасибо большое!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group