Критерий Коши. "Геометрическая" прогрессия

[Yaroslav86]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста проверить мое решение задачи номер 82 из сборника Демидовича.

Условие: Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности $x_n = a_0+a_1 q+ \cdots +a_n q^n$, где $|a_k| < M (k = 0,1, \cdots) $ и $|q| < 1$

Решение:

Рассматриваю разность

$$|x_n - x_{n+p}| = |a_{n+1}q^{n+1}+a_{n+2}q^{n+2}+\cdots+a_{n+p}q^{n+p}| < |Mq^{n+1}+\cdots+Mq^{n+p}| = M|q^{n+1}+\cdots+q^{n+p}|$$

А так как $q^{n+1} > q^{n+l}, l > 1 $ и слагаемых под знаком модуля $p$ штук, то

$$ M|q^{n+1}+\cdots+q^{n+p}| < pM|q^{n+1}| < \varepsilon$$

Решая последнее неравенство нахожу, что $n > \frac{\ln q}{\ln \frac{\varepsilon}{qpM}}$

Сразу скажу, что меня терзают сомнения насчет правильности решения.
Большое спасибо.

[Otta]

Yaroslav86 в сообщении #810002 писал(а):

Рассматриваю разность

$$|x_n - x_{n+p}| = |a_{n+1}q^{n+1}+a_{n+2}q^{n+2}+\cdots+a_{n+p}q^{n+p}| < |Mq^{n+1}+\cdots+Mq^{n+p}| = M|q^{n+1}+\cdots+q^{n+p}|$$

Это большое несчастье - выписывать из всего высказывания одно лишь заключительное неравенство. Что там до неравенства было написано? Когда оно должно быть верно?

[Yaroslav86]

Извините, я не совсем понял, о чем вы. В формулировке критерия сказано что для любого $\varepsilon$ должен существовать номер $N$ такой, что для любого $ n, p > N$ выполняется неравенство $|x_n-x_{n+p}| < \varepsilon$
Соответственно, я вроде бы нашел этот номер, но я сомневаюсь в своем ответе.

[Otta]

Yaroslav86 в сообщении #810008 писал(а):

Извините, я не совсем понял, о чем вы. В формулировке критерия сказано что для любого $\varepsilon$ должен существовать номер $N$ такой, что для любого $ n, p > N$ выполняется неравенство $|x_n-x_{n+p}| < \varepsilon$

Вот да, я именно об этом. Только $p$ не больше $N$, а просто любое натуральное.
Однако обратите внимание, что выбор $N$ осуществляется только в зависимости от эпсилон (для каждого - вообще говоря, свой). А значит, $N$ (больше которого $n$) не может выбираться в зависимости от $p$.

Высказывания надо писать полностью. Тогда и ошибки Ваши при внимательном взгляде Вам самому будут видны:

Yaroslav86 в сообщении #810002 писал(а):

$n > \frac{\ln q}{\ln \frac{\varepsilon}{qpM}}$

А надо было честно посчитать сумму $q^{n+1}+\ldots+q^{n+p}$, и все должно было хорошо получиться.

[Yaroslav86]

Ага, про $p$ понял.

Но у меня получилось, что $q^{n+1}+\ldots+q^{n+p} = \frac{q^{n+1}(q^p-1)}{q-1}$ и как оценить полученное выражение (теперь ведь оно зависит только от $n$, вернее $p$ - постоянное число) я не знаю.

[Otta]

Почему, от $p$ оно тоже зависит. И модуль не забывайте, $q$, как видно из условия, не обязательно положительно. Все там хорошо оценивается, в одно касание. Подумайте. $p$ произвольно, перечитайте то, что я Вас просила выписать, еще раз.

[Yaroslav86]

Ох, не знаю. Как ни пересчитываю сумму, чтоб избавиться от $p$ хотя бы, ничего не получается. Конечно, если положить например $p = 1$, то все прекрасно, но это же неправильно. Если как-нибудь намекнете, то буду очень благодарен.
Спасибо.

[svv]

Otta в сообщении #810011 писал(а):

А значит, $N$ (больше которого $n$) не может выбираться в зависимости от $p$.

Yaroslav86, похоже, Вы это поняли так, что $p$ надо зафиксировать:

Yaroslav86 в сообщении #810022 писал(а):

вернее $p$ - постоянное число

Наоборот, Вы должны выбирать $N(\varepsilon)$ так, чтобы при любом $p>0$ (и $n>N$, конечно) удовлетворялось $|x_n-x_{n+p}| < \varepsilon$.

Сумма Ваша $q^{n+1}+\ldots+q^{n+p}$ зависит от $p$, и Вы с этим ничего не поделаете. Но если для данного $\varepsilon$ выбрать $N$ достаточно большим, то независимо от последующего выбора $p$ Вы «впишетесь», потому что последовательность сходится. Докажите это, оценив Вашу |сумму| выражением, в которое $p$ уже не входит.

[Yaroslav86]

Подождите, а можно ли оценить это все так:

$$|M\frac{q^{n+1}(1-q^p)}{1-q}|<|M\frac{q^{n+1}}{1-q}|$$

?

Ведь $|1-q^p| = |q^p-1| < 1$ при любом $p$ и $|q| < 1$. Просто переставил местами под знаком модуля 1 и $q^p$ и все стало вроде виднее.

Спасибо!

[svv]

Направление правильное. Только не забывайте, что $q$ может быть и отрицательным. Это чуть портит дело:
$|1-(-0.3)^5|<1$ неверно
Но, хоть этот модуль и не обязательно меньше $1$, всё же не намного больше.

[Yaroslav86]

Ок, тогда можно ли так сказать: $|(1-q^p)| < 2$? При $|q| < 1$ модуль не превосходит 2. И тогда

$$|M\frac{q^{n+1}(1-q^p)}{1-q}|<2|M\frac{q^{n+1}}{1-q}| = 2M|\frac{q^{n+1}}{1-q}|$$

[Otta]

Yaroslav86, Вы обратите внимание, что если придираться, то уже это неравенство неверно:

$$|a_{n+1}q^{n+1}+a_{n+2}q^{n+2}+\cdots+a_{n+p}q^{n+p}| < |Mq^{n+1}+\cdots+Mq^{n+p}|.$$

Кто же внутри модуля оценки делает? Вот как только тут исправите, все нормализуется само собой.

[Yaroslav86]

Otta, да, спасибо, я понял, что неправильно написал. Нужно вот так, как я понимаю:

$$|a_{n+1}q^{n+1}+\ldots+a_{n+p}q^{n+p}| \leqslant |a_{n+1}q^{n+1}|+\ldots + |a_{n+p}q^{n+p}|< M(|q|^{n+1}+\ldots+|q|^{n+p})$$

Только теперь получается $|q|^{n+1}+\ldots+|q|^{n+p} = \frac{|q|^{n+1}(1-|q|^p)}{1-|q|}$

Правильно?

[Otta]

Ага, правильно. Ну вот теперь избавляйтесь от $p$, как собирались, и находите $N$.

[Yaroslav86]

Otta, svv
Спасибо большое!