эффективные оценки (статистика). (я девушка :( )

[Anastasiya_92]

Задание: доказать эффективность оценки $ \overline X_n$ в статистической модели $E(\frac 1 \theta)$.
Ну я решила делать это через неравенство Рао-Крамера $D_\theta \hat \theta (x) \leqslant \frac 1 {I_n(\theta)}$, где $I_n(\theta)$ -количество информации Фишера.

Знаю, что если оценка несмещенная и неравенство Рао-Крамера превратилось в равенство, то оценка эффективная.
Шаг 1. Доказываю несмещенность:
$M \hat \theta = M \overline X_n = M \frac 1 n \sum_{i=1}^n X_k = \frac 1 n \sum MX_k = \frac 1 n \sum \theta = \theta $
Шаг 2. Ищу количество информации Фишера. Для этого беру a)плотность, b)логарифмирую, c)беру от нее производную, d)ищу мат. ожидание от квадрата этого добра.
а) $f(x) = \frac 1 \theta e^{- \frac 1 \theta x}$
b) $\ln (\frac 1 \theta e^{- \frac 1 \theta x} )= - \ln(\theta)-\frac x \theta $
c) функция правдоподобия это сумма всех логарифмов, т.е. полученное в пункте b умножить на n
беру производную: $\frac d {d\theta} (L(x)) = \frac nx {\theta ^2}- \frac n \theta $
d) ищу мат. ожидание от квадрата:
$M(\frac {nx} {\theta^2} - \frac n \theta)^2 = D(\frac {nx} {\theta^2} - \frac n \theta)-(M(\frac {nx} {\theta^2} - \frac n \theta))^2 = \frac 1 {\theta^4}\cdot n^2\theta^2 - \frac {n^2} {\theta^2} + (\frac {n}{\theta^2}\theta - \frac n \theta )^2=0$

вот последнее равенство нулю меня крайне расстраивает, потому что по моей логике должно было получиться $\frac n {\theta^2}$, чтобы потом единицу на это поделить и убедиться, что неравенство Рао-Крамера стало равенством. Что я сделала не так?

[Otta]

Anastasiya_92 в сообщении #809763 писал(а):

беру производную: $\frac d {d\theta} (L(x)) = \frac nx {\theta ^2}- \frac n \theta $

Это еще откуда?
И неравенство напишите так, чтобы оно стало неравенством Рао-Крамера.
В последней строке наврато практически в каждом действии, сперва исправьте хотя бы опечатки. И странная у Вас любовь делать жизнь себе сложнее.... мы тут дружно впадаем в занудство, но хорошо, я повторю вслед за -mS-: а что, просто раскрыть скобочки не судьба?

[Anastasiya_92]

ой, я местами перепутала при наборе! Производная конечно же $- \frac 1 \theta + \frac x {\theta^2}$.
Дальше считаю дисперсию от этого: $D(- \frac 1 \theta + \frac x {\theta^2}) = \frac 1 {\theta^4} Dx = \frac 1 {\theta^2}$
Это было количество информации в одном наблюдении.
В n наблюдениях в n раз больше и всё сходится)
Всем спасибо

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Anastasiya_92, темы создавайте в разделе "Помогите решить/разобраться".

[--mS--]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #809766 писал(а):

И странная у Вас любовь делать жизнь себе сложнее.... мы тут дружно впадаем в занудство, но хорошо, я повторю вслед за -mS-: а что, просто раскрыть скобочки не судьба?

Не хочу показаться занудой, но ровно в этом месте за раскрытие скобочек -mS- бьёт студентов по голове канделябром. За отсутствием оного - стулом. Всегда Поскольку всегда при вычислении информации Фишера вылезает дисперсия. Вот только не так, как у Anastasiya_92, а сразу же, по определению $\mathsf D\xi=\mathsf E(\xi-\mathsf E\xi)^2$. Соответственно, $\mathsf E\left(\frac{X_1-\theta}{\theta^2}\right)^2=\frac{1}{\theta^4}\mathsf E(X_1-\mathsf EX_1)^2 =\frac{1}{\theta^4}\mathsf DX_1$.

Anastasiya_92, Вы выяснили, как выглядит неравенство Рао - Крамера на самом деле? А то за такое, как у Вас, двойки ставят не жалеючи даже девушкам

[Otta]

--mS--

(Оффтоп)

Я догадываюсь. Но когда я вижу, что человек считает момент второго порядка с помощью дисперсии ТАКИМ образом, я пугаюсь. Пусть лучше скобочки открывает, чесслово.

[--mS--]

(Оффтоп)

Ну да, эдак и второму моменту немудрено отрицательным оказаться :)

[Otta]

(Оффтоп)

--mS--, ну это у Вас от хорошей жизни, и я Вам, чесслово, завидую черно-белой завистью. Вы думаете, если дисперсия отрицательна, это кого-то нынче останавливает? Нет, конечно, Вы все правильно делаете, и если контингент позволяет, так и надо.

У нас немного непонятный разговор выходит, мне цель его не ясна: если Вы хотите рассказать мне, как это делается, то в данном случае это излишне, хотя обычно я Вам признательна за всяческий ликбез. Или Вы хотите отучить меня давать советы такого сорта, как выше, и по возможности давать советы идеальные? Тоже хорошо, когда идеал - это все, к чему осталось стремиться, а не когда на каждую строку по три ошибки. Ну как-то так, имхо.

С Новым годом Вас, кстати, и прочими другими праздниками.

[--mS--]

(Оффтоп)

Малопонятно мне Ваше сообщение, поэтому, право, не знаю, как отвечать на Ваш вопрос. Ну давайте я попробую переформулировать своё предыдущее высказывание - сдаётся мне, что Вы его как-то не так прочитали, как я планировала

--mS-- в сообщении #809869 писал(а):

Ну да, Совершенно с Вами согласна: эдак если действовать так, как это делает ТС - а именно как $\mathsf EX^2=\mathsf DX - (\mathsf EX)^2$, то и второму моменту немудрено отрицательным оказаться :)

Да и стоит ли любой комментарий воспринимать как сказанный в Ваш персональный адрес? В 99,9% случаев меня интересует только ТС и его проблемы, и даже если я адресуюсь к президенту РФ, это лишь способ донести нечто важное до ТС.

[Otta]

--mS--

(Оффтоп)

Да все в порядке, на самом деле, отправила ответ в личку, чтобы тут не сорить.